利用牛顿第二定律解释进动现象

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1、利用牛顿第二定律解释进动现象——剖视右手定则的物理意义陀螺倾斜不倒却水平进动，这个现象司空见惯、尽人皆知。但人们又是如何理解进动现象的呢？利用书本上的定理和推导，我们使用角动量定理dL/dt=M，可以很方便地给出解释，角动量随时间的变化率等于重力矩M，而向下的重力形成的重力矩M的方向，根据右手螺旋定则确定为水平方向，因此角动量方向水平变化，因此陀螺水平进动。这当然很简洁，但是引入了另一个法则--右手螺旋定则，使人总感觉隔着一层什么。这无疑不如直接使用f=ma来得更加基本而直观，尽管可能会很复杂。人们总是希望

2、用最少的基本法则，解释更多的客观现象，希望所有的客观事实，最好能统一到一个基本法则之上。“外力是改变物体运动状态的原因”，也就是基本定律，a=f/m，没有外力（或合外力=0），物体不会出现加速度，其运动状态不会改变，这是深入人心的一个公认的基本法则。那么，应用这个法则，如何理解陀螺的进动？从质点力学出发，基于f=ma直接解释陀螺进动。自转的陀螺不论以何种形式受外力作用而进动，原理应该都相同。为方便分析，我们将其抽象为如下理想模型：半径为R自转圆盘在力偶作用下做规则进动，距离圆盘中心L处有大小为F的力偶作用，

3、其自转角速度为ω、进动角速度为Ω。（以下分析均基于牛顿力学体系的惯性系，在此系统中，若存在加速度，必然存在具有施力者的真实外力f=ma，并选用盘面圆心为坐标原点）。我们选取圆盘边缘上顶点的一质点，就其做如下分析：该质点除了随圆盘自转的切向速度v(t)切=ωR外，还具有垂直盘面方向的法向速度，并且该速度在变化，变化规律为v(t)法=ΩRsinωt。由此可知，质点在垂直盘面方向必然存在加速度。现在我们从质点的运动反推垂直盘面方向的加速度，根据上述模型容易写出矢径r(t)=Rsin(ωt)*(cos(Ωt)i+s

4、in(Ωt)j)+Rcos(ωt)k。连续对t求2次导得到加速度:a(t)=-R(Ω²+ω²)sin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j)——————————（1）-Rω²cos(ωt)k———————————————————（2）-2RΩωcos(ωt)(sin(Ωt)i-cos(Ωt)j)————————————（3）第1项和第2项在自转平面内，无需考虑。第3项垂直于自转平面，指向进动的方向，就是需要考虑的，它的模2RΩωcos(ωt)即为所求。因此：a(t)法=2RΩωcos(ωt)这是惯性系

5、中存在的加速度，正是这个余弦形式的加速度，导致该质点出现正弦形式的速度变化v(t)法=ΩRsinωt。从力偶直接推导质点的加速度。加速度a(t)=2RΩωcosωt（即外力）当然不会凭空产生，必然是由其他外力传递而来，他来自何处？当然是上述模型中的两个F组成的力偶M。下面就M如何导致质点出现加速2RΩωcosωt进行简单分析：圆盘受M作用，当会出现绕圆盘水平直径的角加速度a=M/J1（J1为圆盘水平直径的转动惯量）。该角加速度会导致质点出现垂直盘面的线加速度a(θ)=[M/J1]Rcosθ。由于圆盘在自转，

6、θ=ωt，因此，a(t)=[M/J1]Rcosωt，这就是2RΩωcosωt。所以2RΩωcosωt=[M/J1]RcosωtΩ=M/2ω(J1)圆盘对中心轴的转动惯量J2=2*（J1）,M=2FL。故：Ω=M/2(J1)ω=M/(J2)ω=2FL/(J2)ω这就是经典力学的进动角速度公式。结论：证明了右手螺旋定则只是人为规定的一种简捷运算方法，脱离右手定则应也可以进行公式定理的推导。在物理中，右手定则的引入应是在描述角速度时，大小不用解释，而角速度矢量的方向是作为右手定则在整个物理范围内方向的基准，事实证

7、明由其推导的一系列（例如角动量等）最终还是描述转动方向的矢量皆可以还原到实际生活中应用。