学是科学研究的工具

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1、第一章函數與極限數學是科學研究的工具，藉由數量的計算分析來探討應用上的問題。科學或應用問題所面對的數量，通常有著明確的因果關係，這因果關係就是數學裏的「函數」，而微積分正是函數研究中，最基礎且強而有力的一門課。她可對函數(欲研究的問題)作細部的分析(微分)，也可作廣域性的掌握(積分)，故中文譯為微積分。微積分英名稱為「Calculus」，是「Calculate」(計算)的變形字，因此微積分英文直譯應為「計算之學」。她所計算(處理)的不僅是特殊的案例，更針對整類問題作全面性的探討，因此微積分處理的是「函數」，而不是特定數字的運算。為了對整個問題作全盤性的分析，我們需要「函數」；為

2、了作細部的分析，我們需要「極限」的概念。因此本書第一章為「函數與極限」，這是微積分課程中最基礎的部份。函數(Functions)1-1．集合．函數．函數的表現方式．基本函數圖形．常用函數．函數的特徵．新函數的產生．函數圖形的變化集合(Set)定義1：一組明確事物所構成的群體，稱為「集合」。集合內的事物稱為集合之「元素」(Element)。集合的符號，以大寫英文字母A,B,S,T…等表示，元素則以小寫a,b,c,x,y,t,a,a…等表示。元素與集合間的關係以∈(屬於)12與∉(不屬於)表示。例1:a∈S，0∉X表S內有元素a，而X內沒有元素0。集合的表示法集合的表示法有四種：列

3、舉法、結構法、專有名詞及區間。1.列舉法：例2:A={}0,1,3,−5，A內含四個元素。B={}1,3,5,7,9,L為所有正奇數形成的集合。1-12.結構法：例3:A={n

4、n=2k,k為整數}，即所有偶數所形成的集合。B={(x,y)

5、x,y為正實數}，即坐標平面上第一象限。R[x]={f(x)

6、f(x)為實係數多項式}，為實係數多項式所構成的集合。3.專有名詞：有些集合有專有的名詞，如：φ表空集合(Emptyset)，不含任何元素的集合。N={1,2,K3,L}表「自然數」(Naturenumbers)，即正整數。Z={0,±1,±2,L}表「整數」(Integers)

7、。⎧n⎫Q=⎨m,n∈Z,m≠0⎬為「有理數」(Quotients)，即分數。⎩m⎭R為「實數」(Realnumbers)，即有理數與無理數形成的集合。4.區間：例4:[−1,3]={x

8、x∈R,−1≤x≤3}為「閉區間」(Closeset)，含兩端點，如圖1.1。․․－１０３圖1.1閉區間[-1,3](a,b)={x∈R

9、a

10、x≥0}(−∞,∞)即實數集合R。註：一個含a的開區間，稱為「a的附近」。集合與集合間的關係B若A集合內的元素均為Ｂ集合內的元素，稱A為B之「子集A合」(Subset)，記為A⊂B(

11、A包含於B)或B⊃A(B包含A)，請參考圖1.2的包含關係。圖1.2A⊂B故N⊂Z⊂Q⊂R，而{0,0.5,2}⊄N。1-2集合間的運算1.交集：A∩B表集合A與B共同元素所形成的新集合。2.聯集：A∪B表集合A與B所有元素所形成的新集合。3.差集：A−B={x

12、x∈A,x∉B}，以集合A為基礎，扣除屬於集合B的元素，剩下元素所形成的新集合。4.補集：A的補集記為A′，A′={x

13、x∉A}，即集合A的外面元素所形成的新集合。例5:[−1,3]∩(−6,2)=[−1,2)。[−1,3]∪(−6,2)=(−6,3]。[−1,3]−(−6,2)=[2,3]。A∩B′=A−B。註：微積

14、分旨在研究實際應用問題中，數量或函數的變化，因此本書的集合都是實數或函數所構成的集合。若無特別聲明，所稱的數均為實數。函數(Functions)通俗定義數量可分為兩種：一是固定不變的數，稱為常數(Constants)，如：−3,log5,π,6等。另一種則是會變動的數，稱為變數(Variables)，如：x,y,t等。而變數又依其主動改變或被改變，分為自變數(主動改變)及因變數(被改變)。被唯一決定的因變數稱為函數。函數是因變數，可用變數符號x,y,u,v等表示；為指示函數內含的自變數，又以f(x),v(t),g(x,y)等表示，其中f(x)表示函數f內含自變數x，為單一自變數

15、函數，簡稱「單變數函數」；而g(x,y)表函數g內含兩個自變數x,y，為「多變數函數」。註：微積分前半段以單變數函數為主，後半段討論空間中的問題，則以單變數函數的基礎，繼續討論多變數函數。1-3例6:(計程車問題)搭計程車時，至少會面臨車程(x公里)，車資(y元)，兩個都是會變動的數，其中車程是自變數，而車資則是被決定的因變數。故車資y為車程x的函數。2例7:數學式x=3t−1，內含兩個變數x,t，其中x由t來決定，故x是因變數，而t是自變數。故x為t的函數，又可將x改寫為x(t)，以明白指