圆锥曲线的极坐标方程在解题中的应用

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1、科技信息高校理科研究!圆锥曲线的极坐标方程在解题中的应用汕尾职业技术学院!何永金!摘!要"直角坐标系和极坐标系是研究解析几何的两个基本坐标系统!它们从不同的视野描绘了平面内的点集与具有丰富几何意义的有序数对的对应关系!是矛盾的统一体"极坐标给中学数学增添了一道风景!在运用中独树一帜!用它来解决圆锥曲线的问题有时非常方便"本文将介绍相关概念及性质!再举例说明圆锥曲线的极坐标方程在解题中的应用"!关键词"极坐标系!圆锥曲线的极坐标方程!极轴的平移!旋转公式!极径一#基本概念及性质%)&当3i#时!方程表示极点在下焦点的双曲线"%一&极坐标系"#几点性质在平面内取一定点?!叫极点!引一条

2、射线?^!叫做极轴!30%#&对于圆锥曲线的标准极坐标方程2M!则与之再选定一个长度单位和角度的正方向%通常取逆时针方向&!如#93T,J3""图$%^LT&对应的直角坐标方程为$LM#%当Dj3j#时&""1_""%^LT&LM#%当3i#时!2&U&""1_"M"0%^LT&%当3M#时&注$上述对应关系!其转换条件是$原点与极点重合!极轴对于平面内任意一点$!用2表示线段?$的长度!3表示与^轴正半轴重合!单位长度相同"从?^轴到?$的角度!2叫做点$的极径!3叫点$的极角!30有序数对%2!3&叫点$的极坐标!这样建立的坐标系叫做极坐%"&记圆锥曲线的统一方程2M!有

3、#93J:-3标系"极坐标为2#3的点$!可表示为$%2!3&"公式#$"1Mh2%D&L2%*&h%二&圆锥曲线的统一极坐标方程公式"$"TMh2%D&92%*&h##圆锥曲线%椭圆#双曲线#抛物线&可统一定义为$与一个公式)$"_M"槡h2%D&52%*&h定点%焦点<&的距离和一条定直线%准线Y&的距离之比等于其中"1表示椭圆长轴与双曲线实轴长!"_表示椭圆短轴常数3点的轨迹"建立以焦点<为极点!^轴正方向为极轴的与双曲线虚轴长!"T表示焦距"30极坐标系!其统一极坐标方程为2M%称为标准极坐标%)&由圆锥曲线的标准极坐标方程!易求得过焦点且倾斜#93T,J3"30方程&"角

4、为6的弦@(的长度为h@(hM"""#93T,J6%#&当Dj3j#时!方程表示椭圆!定点<是它的左焦点!)#极轴的平移公式定直线Y是它的左准线"在直角坐标系^,!令其任意一点?u为极点!把过?u点且%"&当3M#时!方程表示开口向右的抛物线"与^轴的正半轴平行的射线作为极轴!建立极坐标系!并在两%)&当3i#时!方程只表示双曲线的右支!定点<是它的种坐标系中取相同的长度单位"设点?u的坐标是%^!&!$右焦点!定直线Y是它的右准线"%若允许2jD!方程表示整个DD是平面上任意一点!它的直角坐标是%^!&!它的极坐标是%2!双曲线&其中$3&!如图$%:&2是动点到极点的距离

5、%2iD&!3表示极径与极轴正方向的夹角"T%4&3表示圆锥曲线的离心率!3M"1%5&0表示焦点到准线的距离"由焦点与准线的不同位置关系!从而建立不同的极坐标系!利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为$30推广#$2M#L3T,J3^9^M2T,J3%#&当Dj3j#时!方程表示极点在右焦点上的椭圆"D可得{!!!!%!&9M2J:-3%"&当3M#时!方程表示开口向左的抛物线"D上公式称为直角坐标系中极轴的平移公式"特别!当M%)&当3i#时!方程表示极点在左焦点上的双曲线"DD时!极点在^轴上)当^MD且MD时!由上公式即得极坐标30DD推广"$2M#93J:-3和直

6、角坐标的互化公式$%#&当Dj3j#时!方程表示极点在下焦点的椭圆"{^DM2T,J3%"&当3M#时!方程表示开口向上的抛物线"DM2J:-3%)&当3i#时!方程表示极点在上焦点的双曲线"I#旋转公式30%#&根据人教版-平面解析几何.%必修&>#II第#D题$?推广)$2M#L3J:-3是极点!?^是极轴!点$的坐标是%2!3&!把?^绕点?旋转角%#&当Dj3j#时!方程表示极点在上焦点的椭圆"度6以后!?^转到?^u的位置!对于新的极坐标系!点$的坐%"&当3M#时!方程表示开口向下的抛物线"标记为%2u!3u&!求点$的新旧坐标的关系"如下图$*WA*科技信息高校理科

7、研究!"C定值问题例##经过椭圆的焦点<任意作两条互相垂直的弦@(和##RZ!求证$L为定值"h@(hhRZh证明$如图$我们易求得点$的新旧坐标之间的关系为${2M2u2M2u3M3uL6!!%#&!!或{3M3u96!!%"&公式%#&#%"&就叫做旋转公式"由推导过程我们可知$在公式中!若6iD!极轴?^沿逆时针方向旋转!若6jD!极轴?^沿顺时针方向旋转"30%"&我们知道圆锥曲线的标准极坐标方程2M!现#93T,J3)**把圆锥曲线绕极点按顺时针方向分别旋转