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《【素材】《角平分线》经典例题，翼教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、经典例题 在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm). 如图(1)
2、所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕 作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DA
3、B的平分线上. 如图(1)所示,已知点P是ΔABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,若PD=5,ΔABC的周长为20,求ΔABC的面积.〔解析〕 作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,根据角平分线的性质定理得PE=PF=PD=5,然后根据三角形面积公式和SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC得到SΔABC=(AB+BC+AC),再把ΔABC的周长为20代入计算即可.解:作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,如图(2)所示,∵点P是ΔABC三条角平分线的交点,∴PE=PF=PD=5,∴SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC=PD·AB+
4、PE·BC+PF·AC=(AB+BC+AC)=20=50. 如图(1)所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,且AC=b,BC=a,AB=c,∠A与∠B的平分线交于点O,O到AB的距离为OD.试探究OD与a,b,c的数量关系.〔解析〕 过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BA
5、C,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).
