【教学设计】《变化率问题》（人教A版）

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1、《变化率问题》◆教材分析本节是导数及其应用的第一节，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数。◆教学目标【知识与能力目标】1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率。【过程与方法目标】不仅让学生在数学知识的量上有所收获，而且能够体会其中蕴涵的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法。【情感态度价值观目标】感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。◆教学重难点◆【教学重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均

2、变化率。【教学难点】平均变化率的概念。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程（一）、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一

3、个变量变化的快慢程度。(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢？3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5oC增加到18.6oC，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.

4、6oC增加到33.4oC，气温平均变化因为7.4>0.5,所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。【教师过渡】：“表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对“气温平均变化率”的理解。实例二：气球的平均膨胀率问题。【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗？学生思考回答。假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、这一问题与“气温的变化

5、问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。学生讨论，小组交流，教师巡视。学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。【教师过渡】：“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。”（1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，

6、Excel演示）3、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出：实例三：高台跳水运动【学生思考】：在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是h(t)=-4.9t2+6.5t+10。1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？（三）、分析归纳，抽象概括【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式

7、，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示）1、实例一：在气温的变化问题中，当时间从t1到t2时,气温的平均变化率=2、实例二：在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率=1、实例三：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=【学生思考】1.上述三个问题，有什么共同特征？2.你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？3.下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？4.说一说求函数”平均变化率”的步骤是什么？5.这个式子还表示什么？由此你认为平均变化率的几何意义是什么？讨论得出：1．上述问题中的变

8、化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率；2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)；3．则平均变化率为。（四）、知识应用，深化理解例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则。解：，∴例2．求在附近的平均变化率。解：，所以所以在附近的