数值分析V4提要

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1、数值分析提要第一章:绪论关键词：误差、绝对误差、相对误差、有效数字、稳定性1科学计算的重要性：当今世界，科学与工程计算是高科技，它已经成为衡量一个国家的实力的指标之一；它在科学、工程、社会经济活动中的作用日益重要，成为继理论研究、科学实验之后，三大科学技术研究手段之一，是不可缺少的重要技术；2．误差的来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差（计算误差）；误差分类：绝对误差、相对误差；强近似、弱近似、误差限、相对误差限；3精度的定义：有效数字N（精确到第N位）；4衡量算法的指标：稳定性、计算精度、计算速度；5四则运算的误差估计

2、；有效数字与相对误差的关系；6减少误差的一些基本原则：避免大数除小数、避免相近数相减、避免大数与小数的加减、简化运算步骤减少运算次数。一、定理设的近似值有位有效数字，，则其相对误差限，反之，若其相对误差限满足：，则有位有效数字。二、误差限的运算：三、误差的传播四、稳定第二章代数插值关键词：拉氏插值、艾氏插值、样条插值、等距插值、分片插值、线性插值、二次插值1．设是区间上的连续函数，已知它在上个互异点，若代数多项式在点处满足则称为函数12的插值多项式，为插值节点。满足上述条件的次数不超过的多项式是存在且惟一的。常用的代数插值公式有：拉格朗日型

3、和牛顿型公式插值余项为其中。2．埃尔米特插值公式为其中的表达式同拉格朗日型公式中的基函数。插值余项为3．三次样条插值多项式，详见参考文献1，2，5等。第三章函数逼近关键词：最佳一致逼近、最佳平方逼近、最小二乘逼近、数据拟合、多项式逼近、权函数、正交多项式、勒让得多项式、切比雪夫多项式1、函数逼近的概念。设中一组线性无关的函数，12在某种范数意义下距离最近，即，则称为在函数类意义下的最佳逼近函数。特别当范数为时，分别为最佳平方逼近和最佳一致逼近。常用的函数类次多项集合。次最佳平方逼近多项式和最佳一致逼近多项式都是存在惟一的。次最佳平方逼近多项

4、式的系数满足正规方程组逼近误差，这里内积定义为。2、正交多项式的引入，可能简化最佳平方逼近多项式的正规方程组的求解。常用的正交多项式有：切比雪夫多项式、勒让德多项式、拉盖尔多项式以及埃尔米特多项式。3、对数据进行曲线拟合，常用最小二乘法（最佳平方逼近）。其拟合曲线及误差的表达式同连续函数的情形完全一样。只需把内积理解为即可。第四章数值积分和数值微分关键词：求积代数精度、机械积分公式、高斯点积分公式、牛顿-柯特斯求积公式、矩形公式、梯形公式、辛普森公式、复化求积公式、差分、向前差分、向后差分、一阶差分、二阶差分、高阶差分、外推法数值积分是求定

5、积分的近似算法。1、牛顿-柯特斯求积分式牛顿-柯特斯求积公式是节点等距的插值型求积公式。将等分，其节点为则牛顿-柯特斯求积公式为12其中为柯特斯系数。时，求积公式为梯形公式：时，求积公式为辛普森公式：1、复化求积公式复化梯形公式：3、求积公式的代数精确度概念一个求积公式的多项式都能精确地成立，但对于次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有次代数精确度。形如的求积公式至少具有次代数精确度的充要条件是，该求积公式为插值型的。牛顿-柯特斯公式是插值型公式。4、高斯型求积公式以为节点作插值多项式所得到的插值型求积公式，可使该求积公式的代数精确度提高

6、到次。这样的节点称为高斯点，相应的求积公式称为高斯型求积公式，其一般表达式为其中系数、节点可查表，余项常用的高斯型求积公式有：高斯-勒让德求积公式、高斯-切比雪夫求积公式、高斯-拉盖尔求积公式及高斯-埃尔米特求积公式。5、数值微分数值微分的求法，总的来说有两大类方法：泰勒展开方法和用插值函数求微分方法。12第五章解线性代数方程组的直接法关键词：高斯消去法、LU分解、Cholesky分解、追赶法、范数、向量范数、1范数、2范数、P范数、无穷范数、矩阵范数、列范数、行范数、F范数、谱半径、条件数、误差估计设线性方程组为Ax=b，其中A为n阶非奇

7、异矩阵，x,b为n维列向量。1．高斯消去法、高斯-若当消去法和主元素消去法见参考文献1。2．矩阵三角分解法。高斯消元过程实现了A的一个三角因子分解A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，此分解称为A的Doolittle分解。A有唯一Doolittle分解的充要条件是A的前n-1个顺序主子式均不为零。如果A对称正定，则有唯一分解A=，这里为下三角阵,此分解称为平方根分解或Cholesky分解.当A对称正定时也可以进行如下分解A=,其中L为单位下三角阵,D为对角阵.解方程Ax=b等价于解两个三角方程组这种解方程组的方法称为直接三角分解法.

8、3.三对角方程组的追赶法求解见参考文献1,4.4.向量、矩阵的范数及方程组的性态.向量与矩阵范数的定义见参考文献1.常用的向量范数是p--范数:,(正整数)当p为1,2,∝时分别