关于行列式计算的另类降阶法_邓勇

《关于行列式计算的另类降阶法_邓勇》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第２８卷第６期大学数学Ｖｏｌ．２８，№．６２０１２年１２月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＤｅｃ．２０１２关于行列式计算的另类降阶法邓勇（喀什师范学院数学系，新疆喀什市８４４００６）［摘要］由于二阶行列式的计算仅须求两对角线元素的乘积之差，所以计算非常简单．一般地，对高阶行列式求值，虽然可用Ｌａｐｌａｃｅ展开公式或Ｇａｕｓｓ消去法，但是展开式会非常繁杂或计算量会很大．本文利用降阶原理，得到一种只需计算二阶行列式就可求出ｎ（ｎ≥３）阶方阵行列式值的另类方法．［关键词］行列式；计算；降阶；Ｌａｐｌａｃｅ展开法；高斯消去

2、法［中图分类号］Ｏ１５１．２１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０６－０１０２－０７１研究背景众所周知，大量数学和物理学问题的解决常常都要归结到计算一个ｎ阶行列式．可见，行列式理论是数值计算的一个非常重要的工具．利用对角线法则计算二阶或三阶行列式是容易的．但对高阶行列式（ｎ≥３）来说，随着阶的增加，其手算的难度会逐渐增大，技巧性也会越来越强．在这种情况下，我们只能借助数学软件在计算机上实现行列式的求值．然而，对基础数学专业的大学生而言，我们更加关注他们对行列式理论的掌握和应用能力，而并非只会用计

3、算机计算行列式的结果．因此，寻求行列式计算的其他更多方法，将是很有意义的．传统的行列式手算方法多数采用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理和高斯消去法．其中Ｌａｐｌａｃｅ展开的基本思路是将高阶行列式逐步降至三阶或二阶行列式，再用熟知的二阶或三阶行列式公式算出．使用Ｌａｐｌａｃｅ展开式的麻烦是须经过多次的降阶，因此展开式相当繁复；高斯消去法的基本思路是用行列式的保值变换将其化简为上（下）三角形行列式，其值即为三角形行列式主对角元的乘积．除此之外，对于一些有明显结构特征的高阶行列式，我们可采取一些特殊的方法来计算．如范德蒙行列式、三对角

4、行列式、行（列）和相等的行列式等．但这些方法都不具有普遍性．基于此，本文将介绍行列式求值的一种另类方法，给出了这种方法的两种形式．其中第二降阶形式是对第一降阶形式的改进．由于这种降阶不同于Ｌａｐｌａｃｅ展开降阶，因此我们称其为新降阶法．２算法程序新降阶法的算法程序是：对给定的ｎ（≥３）阶方阵，按特定的降阶步骤逐步产生所需要的（ｎ－１），（ｎ－２），…，１阶方阵，最后此１阶方阵的元即为原给定方阵行列式的值．具体为２．１第一降阶形式．定义２．１设Ａ为给定的ｎ（≥３）阶方阵．删除Ａ的首行和末行以及首列和末列后，得到的ｎ－２［

5、１］阶方阵称为Ａ的内阵，记作ｉｎｔＡ．第一降阶形式的算法步骤：［收稿日期］２０１１－０７－１３［基金项目］新疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目（ＸＪＥＤＵ２００８Ｉ３１）第６期邓勇：关于行列式计算的另类降阶法１０３（ｉ）设Ａ＝（ａ）是一个ｎ阶方阵．若其内阵ｉｎｔＡ包含零元，在不改变方阵行列式值的前提下，对Ａｉｊ施行交换行或列的变换，目标是产生一个新方阵，使其内阵不含零元，仍以Ａ表示此新方阵；（ｉｉ）计算由Ａ的所有相邻元组成的２阶行列式，并将结果按规定顺序组成一个ｎ－１阶方阵，记作Ｂ＝（ｂｉｊ）．即ａｉｊａｉ，ｊ＋１ｂｉ

6、ｊ＝（ｉ，ｊ＝１，…，ｎ－１）；ａｉ＋１，ｊａｉ＋１，ｊ＋１（ｉｉｉ）对Ｂ执行步骤（ｉｉ）的运算，可得一个ｎ－２阶方阵Ｃ′＝（ｃ′），再将方阵Ｃ′的各个元分别除以Ａｉｊ的内阵ｉｎｔＡ的对应元，并把此结果记为Ｃ．即Ｃ＝（ｃｉｊ），其中ｃ′ｉｊｂｉｊｂｉ，ｊ＋１ｃｉｊ＝，ｃ′ｉｊ＝（ｉ，ｊ＝１，…，ｎ－２）；ａｉ＋１，ｊ＋１ｂｉ＋１，ｊｂｉ＋１，ｊ＋１（ｉｖ）把Ｂ看作新的Ａ，把Ｃ看作新的Ｂ，且对Ｃ再返回步骤（ｉｉｉ）直到Ｃ为一个１阶方阵，其所含的元即为ｄｅｔＡ．注意，第一降阶形式的主要缺点在于不允许其内阵出现零元，且事先无

7、法判断．一旦发生这种情况，我们只能退回起点重新产生一个符合要求的新方阵．２１１２烄烌１－２１０例２．１设Ａ＝，求ｄｅｔＡ．１３－１－１烆０２－３１烎烄－２１烌解因为ｉｎｔＡ＝不含零元，所以我们直接进入步骤（ｉｉ），得到的３阶方阵为３－１烆烎烄２１１１１２烌１－２－２１１０烄－５３－２烌１－２－２１１０Ｂ＝＝５－１－１．１３３－１－１－１２－７－４烆烎１３３－１－１－１烆０２２－３－３１烎对Ｂ再用步骤（ｉｉｉ），先算出２阶方阵烄－５３３－２烌５－１－１－１烄－１０－５烌＝，５－１－１－１－３３－３烆烎烆２－７－７－４烎烄

8、－１０－５烌烄－２１烌接着以元对元的方式将“除以”ｉｎｔＡ＝，可得－３３－３３－１烆烎烆烎烄－１０／－２－５／１烌烄５－５烌Ｃ＝＝．－３３／３－３／－１－１１３烆烎烆烎烄５－５烌由步骤（ｉｖ），把Ｂ看作新的Ａ，把Ｃ看作新的Ｂ，再回到步骤（ｉｉｉ），计算＝－（４０），立－１１３烆烎得Ｃ＝－（４０／－１）＝（４０），故ｄｅｔＡ＝４０．