2011-9线性代数B-chapter 1

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1、线性代数张莉DepartmentofMathematicsTongjiUniversityChapter0简介1.何为线性代数2.作用与意义3.内容与工具(1)方程axaxb11nnaxaxaxb1111221nn1(2)方程组axaxaxbm11m22mnnm(3)矩阵(4)相关定义：元素、行列标、方阵、阶数、对角线、相等、加法Chapter1行列式§1.低阶行列式1.二阶行列式：对角线法则行标aa主对角线1112aaaa.11221221副对角线aa2122列标注意：下标特点2

2、.三阶行列式1)对角线法则aaa111213a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32aaa313233aaaaaaaaa.132231122133112332a11a12a13a11a122)沙路法Da21a22a23a21a22a31a32a33a31a32Daaaaaaaaa112233122331132132aaaaaaaaa.112332122133132231以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.§2.行列式的定义一.n阶行列式1、概念的

3、引入三阶行列式二阶行列式aaa111213aa1112DaaaD212223aa2122aaa313233aa1122aa1221aaaaaaaaa112233122331132132？(1)aa12pp12aaaaaaaaa132231112332122133？(1)aaa1p12p23p3分析（1）二阶行列式共有2项，即2!项．三阶行列式共有6项，即3!项．（2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积．（3）每项的正负号？？．猜想：n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素

4、的乘积的代数和？2、定义aaa11121naaa21222n记作：Daaan12nnn(1)tpp12pnaaa12ppnp12n简记作Dtae()ij..oraij，数aij称为行列式的元素.其中pp12pn为自然数12，，，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和；3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积；aaatpp12pn4、每项12p12pnpn的符号

5、为1；5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆.二.全排列与逆序数1.n元全排列：即{1,2,……,n}的全排列记作：ppp12n2.nS元全排列的集合:n3.逆序对：一对数的前后位置与大小顺序相反4.逆序数：逆序对的总数记作：(ppp)12n5.排列的分类：奇排列，偶排列6.逆序数的计算：排列ppp，若比p大且排在p前的元有t个，12niiin则称pi元的逆序数为ti,则(pp12pn)ti.i1附思考一：n阶行列式中正负项的项数各多少？附思考二：高阶为何不可用对角线法则？三.例题11222.

6、1.nn分析1.显然得D12nit2.易见，只有项(1)aa1n2,n1an10nn(1)nn(1)所以D(1)2(1)212niaaaa1n11121naaaa2,nn12222n4.3.aan1an1,n1annnn分析3.显然得Daa1122annaiit4.易见，只有项(1)aa1n2,n1an10nn(1)nn(1)所以D(1)2aaa(1)2a1n2,n1n1ini,1例用行列式的定义计算0001000200Dnn10

7、0000000nt解D1aaaan1,n12,n2n1,1nnt112n1nnn1212n!.例x1121x11求fx中x3的系数.32x1112x13解含x的项有两项,即tt1234对应于1a11a22a33a441a11a22a34a43t31aaaax11223344t1234312aaaax112234433所以x的系数为1.练习2xx125x11431.()fx中x与x的系数是多少？32x1111x

8、x2x1x2x32x22x12x22x32.记行列式为fx(),3x33x24x53x54x4x35x74x3则fx()0的根有多少个？课前复习aa1112Daaaa.11221221aa2122aaa111213aaaaaaaaaDaaa112233122331132132212223aaaa