药学高数10微分及其应用

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1、第六节微分及其应用一、微分二、微分的几何意义三、一阶微分形式不变性四、微分的应用一、微分一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由x0变化到x0+x,问此薄片的面积改变了多少?定义2-4设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，如果函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)可表示为y=Ax+o(x)其中A是不依赖于x的常数，而o(x)是比x高阶的无穷小，则称函数y=f(x)在点x0是可微的(differentiable)，而Ax叫做函数y=f(x)在点x0相应于

2、自变量增量x的微分(differential),记为dy，即dy=Ax函数y=f(x)在任意点x处的微分,称为函数的微分,记为dy或df(x)dy=Ax函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0可导，且dy=f(x0)x。即可导可微dy=f(x0)x证明(1)必要性(2)充分性即例2-53求函数y=esinx的微分。解dy=ydx=(esinx)dx=esinx(sinx)dx=esinxcosxdx例2-54求函数y=xlnx在x=e,当x=1时的微分。解dy=y

3、x=(xlnx)x=(1+lnx)x二、微分的几何意义当自变量x在点x0处取增量x时，由于曲线y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为：Y=f(x0)+f(x0)(x-x0)所以Y=f(x0)+f(x0)(x0+x-x0)]-[f(x0)+f(x0)(x-x0)]=f(x0)x=dy即微分是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线上纵坐标的相应增量。MNT）P三、一阶微分形式不变性结论：微分形式的不变性例2-55y=e1-3xcox，求dy。解例2-56y=lnsin(x+1

4、)2,求dy。解法一解法二由一阶微分形式不变性知例2-57设y=y(x)是由y3-3y+2ax=0所确定的函数，求dy。解两边同时微分d(y3-3y+2ax)=d(0)d(y3)-3dy+2adx=03y2dy-3dy=-2adx例2-58在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。（1）d()=xdx;（2）d()=costdt。解（1）因为d(x2)=2dx，所以显然，对任何常数C都有（2）因为，所以，即，或对任何常数C都有基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则四、微分的应用在f

5、(x0)≠0的条件下，dy是y的线性主部，当

6、x

7、很小时，有近似计算公式：y≈dy=f(x0)·x将y=f(x0+x)-f(x0)代入上式，可得：f(x0+x)≈f(x0)+f(x0)·x令x=x0+x，则：f(x)≈f(x0)+f(x0)(x-x0)使用原则:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得例2-59计算的近似值。解设，则由于1.05=1+0.05，故令x0=1,x=0.05显然f(1)=1,f(1)=1/2，且x=0.05相对较小。所以，例2-60利用微分计算

8、sin3030的近似值。解把3030化为弧度，得设f(x)=sinx，此时f(x)=cosx如果取，显然,,所以内容小结:1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用:近似计算思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.xy0x0x0+△xxy0x0x0+△xxy0x0x0+△x1)△y>0,dy>0,△y-dy>02)△y>0,dy>0,△y-dy<03)△y<0,dy<0,△y-dy>0作业:习题二57

9、-61