《固体物理学》房晓勇-习题02第二课时_晶体的结合和弹性

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1、第二章晶体的结合和弹性第二章晶体的结合和弹性2.1有一晶体，在平衡时的体积为，原子之间总的相互作用能为，如果相距为r的原子间相互作用能由下式给出：，证明：（1）体积弹性模量为（2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。解：参考王矜奉2.2.1根据弹性模量的定义可知…………………（1）上式中利用了的关系式。设系统包含个原子，则系统的内能可以写成……………（2）又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距的函数，即………………（3）上式中B为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，）。又因为………………（4）……………（5）考虑平衡条件，得，那么（5）式

2、可化为……（6）将（6）式代入（1）式得：16第二章晶体的结合和弹性（2）惰性分子晶体原子之间的相互作用势可以下式描述……（7）此时m=12，n=6，式中，，称为雷纳德-琼斯参数。N个原子组成的晶体……（8）得到平衡时原子间距平衡时总的相互作用势能在体心立方结构中，每个晶胞有2个原子，N个原子有N/2个晶胞，又因为，所以，因为m=12，n=6，查表（P53，表2-3）知体心立方，2.2设原子之间总的相互作用能可表示为，式中，第一项为引力能，第二项为排斥能，A、B均为正常数。证明：要使这两原子系统处于平衡态，必须n>m。证明：参考陈金富9.116第二章晶体的结合和

3、弹性平衡条件得显然，如果为平衡点，相互作用的势能应具有最小值，则需，即n>m2.3试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数，设离子总数为2N，离子间的最短距离为R。解：参考林鸿生1.1.26，刘友之3.7，王矜奉2.2.2，相距为的两异性一价离子的库仑相互作用势能为选取某一正离子为参考离子，并为原点O离子间的最短距离为R，则第n个离子坐标为nR，参考离子与一维晶格所有离子的库仑作用吸引势为式中求和时对正离子取正号，对负离子取负号，并考虑到一维离子晶体，参考离子两边的离子是正负对称的，因此乘以2.离子总数为N，只取一次两离子相互作用势。一维离子

4、晶体总的库仑吸引势为一维离子晶格的马德隆常数当离子数目较大时16第二章晶体的结合和弹性式中利用了2.4由N个惰性气体原子构成的分子晶体，其总互作用势能可表示为式中，，，，称为雷纳德-琼斯参数。是参考原子i与其他任一原子j的距离同最近邻原子距离R的比值（）。试计算简立方、体心立方和面心立方的和值。解：参考徐至中2-2，王矜奉2.2.3，韦丹3.11（1）简立方如图，如果选取原子1作为坐标原点，根据与原子1的间距进行分类，间距依次为R的1，2,3，…i…倍，对应有个原子则，对雷纳德-琼斯参数贡献分别可以表示雷纳德-琼斯参数得当考虑6最近邻时16第二章晶体的结合和弹性

5、（2）体心立方如图所示，以O为原点，1（1/2,1/2,1/2），2（001）…雷纳德-琼斯参数当考虑6最近邻时16第二章晶体的结合和弹性（3）面心立方如图所示，以O为原点，1（1/2,1/2,0），2（001）…雷纳德-琼斯参数得当考虑7最近邻时111222333O如图所示，是面心立方晶格一个原胞，参考点在O点，标号为1的原子是最近邻原子，距离为R，一个坐标面上与标号为0的原子的最近邻有4个，所以面心立方格子任一原子有12个最近邻原子，标号为2是O原子的次近邻，上下左右前后共有6个，之间距离是，标号为3的原子是O原子的第三近邻原子，之间距离是，角顶O原子周围一

6、共有8个如图晶胞，一个晶胞有3个原子，固有24个第三近邻原子。（1）只计算最近邻最近邻原子有12个,，（2）计算最近邻和次近邻最近邻原子有12个,次近邻原子6个，16第二章晶体的结合和弹性（3）计算最近邻，次近邻和第三近邻最近邻原子有12个,次近邻原子6个，第三近邻原子有24个，（4）计算最近邻，次近邻、第三近邻和第四近邻最近邻原子有12个,次近邻原子6个，第三近邻原子有24个，第四近邻原子12个，O2.5试求由正负一价离子相间构成的二维正方格子的马德隆常数。解：（林鸿生1.1.28，王矜奉2.2.4）马德隆常数表达式为取中央负离子为参考离子，则它到其他离子的距

7、离为为整数，R是最近邻原子的距离，为先看第一中性区（小晶胞），位于边棱中点的4个离子为正离子，其位置可表示为（±1，0），（0，±1），因而但每个离子只有1/2属于本晶胞，而4个顶角为负离子，其位置可用（±1，±1）表示，因而，但每个离子只有1/4属于本晶胞，于是对第二中性区（中晶胞），参考离子O最近邻4个正离子和次近邻4个正离子均属该晶胞，坐标分别用（1，0）和（1，1）来代表，由式分别为1，，它们对马德隆常数贡献为而棱中央为4个负离子，坐标用（2，0），16第二章晶体的结合和弹性，但每个离子只有1/2属于本晶胞，边棱有8个正离子，坐标用（1，2），代表，，每

8、个离子也只有1/2属本晶