自然数的序数理论与基数理论

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1、思考如何读？有何区别？401室；401吨双重意义：一方面表示“数量”的意义，即回答“多少个”的问题；一方面表示“次序”上的意义，即回答“第几个”的问题。科学上有两种理论：一是基数理论，二是序数理论。基数理论较好的反映了“多少个”的问题；序数理论较好的反映了“第几个”的问题，二者互相弥补。关于0的争议——P13有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多采用后者。我国93年规定——自然数集包括0。现行九年义务教育教科书和高中教科书都把非负整数集叫做自

2、然数集第二节自然数的基数理论与序数理论2.1自然数的基数理论2.2自然数的序数理论2.1自然数的基数理论一、自然数的概念1、集合的对等自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B等价，记作A∽B，且满足以下的性质：（1）反身性：A∽A；（2）对称性：A∽B，则B∽A；（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集等价，这样的集合叫无限集；否则叫做有限集2、集合的基数定义2：如果A、B是两个等价集，则我们称等价集的共同特征为基数，集合A的基数记为若则规定集合A

3、的基数不小于集合B的基数即定义3：有限集的基数叫做自然数3、冯·诺伊曼的自然数体系定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即其余的自然数按下列规则构造：…………………………依照上述规则，全体自然数就构造出来：0，1，2，……，n，……4、自然数的大小和顺序定义5：设A、B是两个有限集，C是集合A的真子集，如果B∽C，则称按照这个定义，自然数有下列大小关系，并且可按照序排列全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示即二、自然数的四则运算定义6：设A、B是两个有限集，并且则称集合的基数是集合A与B的基数的和，记为1、自然数的加法定理1：自然数的加法满足结合律和交

4、换律，即对于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（证明略）2、自然数的乘法定义7设b个等价集合A1，A2，…，Ab(其中任何两个集合的交集都是空集)的基数都是a，如果A1∪A2∪…∪Ab=C，那么集合C的基数c叫做a与b的积，记作a·b=c(或a×b=c，或ab=c)。a叫做被乘数，b叫做乘数。求积的运算叫做乘法。注：求自然数a乘以b的积就是求b个相同加数a的和定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意有结合律交换律乘法对加法的分配率证明略定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使则称c是a除以b的商，记为定义8：设A、B是两个

5、有限集，并且集合C是集合A中与B等价的子集，用符号表示集合C在集合A中的补集3、自然数的减法和除法自然数的减法与除法分别是加乘运算的逆运算则称集合的基数是与的差，记为2.2自然数的序数理论一、自然数的皮亚诺公理定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本关系叫“后继”（用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及这个关系满足下面五条公理:（1）（2）对任意（3）对任意都有一个后继元即（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足那么这个集合的元素叫做自然数。即二、序数理论下的自然数四则运算定义11：设定义对于

6、定义其中的叫做加数，叫做它们的和。1、加法这个定义实质上给出了加法的具体步骤。例1：求3+7解：按定义11如此一步一步做下去，直到定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（证明略）2、自然数的大小则称a小于b，记为也称b大于a，记为在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。如果存在使定义12：对于也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：证明从略定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且只成立一个：除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；则若若（或），则（或）。在这种大小

7、顺序下，自然数的加法满足加法单调律：定理5：设是三个自然数，（2）若那么（3）若那么那么（1）若推论：设是四个自然数，并且定理6：设是三个自然数，（2）若那么（或），那么（或）。自然数的加法还满足加法消去律：那么（1）若（3）若那么使成立的自然数c叫做a减b的差3、减法当时，必存在自然数c，使记为定理7：对于任意两个自然数定义12对于任意两个自然数并且4、乘法（2）设定义定义定义13：（1）设例2：求解跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、交换律、乘法对加法的分配律。定义14：对于任意两个自然数如果存在自然数c，使那么c叫做a被b除得的商，记作5、除

8、法三、自然数集的性质性质