高等数学课件1-9函数的连续性

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1、1$1-9函数的连续性与间断点一、函数的连续性1.函数的增量(increment)(Continuityoffunction)2$1-9函数的连续性与间断点考察下列四个函数：12.。12.5..。112..。112...1在x=1无极限在x=1无定义无极限在x=1无定义在x=1极限值不等于f(1)3$1-9函数的连续性与间断点2.连续的定义(Definitionofcontinuous)4$1-9函数的连续性与间断点5$1-9函数的连续性与间断点注意：（1）6$1-9函数的连续性与间断点例Example1证Proof由定义2知7$1-9函数的连续性与间断点3.单侧连续(one-sidedcon

2、tinuity)定理8$1-9函数的连续性与间断点解右连续但不左连续,例29$1-9函数的连续性与间断点4.连续函数与连续区间(continuousinterval)在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如10$1-9函数的连续性与间断点例3证11$1-9函数的连续性与间断点例4设讨论解12$1-9函数的连续性与间断点注意：(1)分段函数在分段点的连续性，必须讨论左右连续.(2)函数在某区间内的连续性，要逐点讨论.同理可以讨论在(1,2)内连续，且13$1-9函数的连续性与间断点二、函数的间断点(Discont

3、inuitypointofafunction)(Discontinuitypoint)14$1-9函数的连续性与间断点1.跳跃间断点例4解(jumpdiscontinuity)15$1-9函数的连续性与间断点2.可去间断点例Example516$1-9函数的连续性与间断点解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.17$1-9函数的连续性与间断点如例5中,再如若补充定义则在18$1-9函数的连续性与间断点特点:跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.(discontinuitypointofthefirstkind)19$1-9函数的连续性与间断点3.第二类间断点例

4、6解(discontinuitypointofthesecondkind)20$1-9函数的连续性与间断点例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.(pointofoscillatorydiscontinuity)21$1-9函数的连续性与间断点狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★22$1-9函数的连续性与间断点在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:23$1-9函数的连续性与间断点例8(补充)解24$1-9函数的连续性与间断点三、小结Briefsummary1.函数在一点连续必须满足的三个条件

5、;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)25$1-9函数的连续性与间断点可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx26$1-9函数的连续性与间断点思考题27$1-9函数的连续性与间断点思考题解答且28$1-9函数的连续性与间断点但反之不成立.例但29$1-9函数的连续性与间断点练习题Exercises30$1-9函数的连续性与间断点31$1-9函数的连续性与间断点练习题答案32$1-9函数的连续性与间断点33$1-9函数的连续性与间断点