能量方法和超静定结构

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1、第十三章能量方法及静不定结构材料力学§13–1应变能的计算一．变形固体的功能原理适用条件：线弹性材料；缓慢加载，忽略动能和其它能量变化；2.功能原理：外力的功全部变为变形固体的变形能P-l曲线：二、轴向拉压：Pl外力做功：杆件变形能：例13-1求图示杆件的变形能。Pdl(a)Pd2d2d3l/83l/8l/4(b)解：方法1Pdl(a)Pd2d2d3l/83l/8l/4(b)解：方法2变形能：三、扭转：变形能：变形能的普遍式：四、弯曲：例13-2求图示梁的变形能。CBAPMl/2l/2解：方法1：同时作用P和

2、MCBAPMl/2l/2方法2：先作用P：再作用M：结果：习题传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力T+t=P，D=2d。试计算轴的变形能。设a=l/4。l/2l/2aTtDdP解：（1）将外力向轴线简化T+tPABCD(T-t)D/2Pd/2（2）扭转变形能（3）水平方向弯曲变形能（4）垂直方向弯曲变形能（5）轴的变形能CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2§13–2互等定理作用方式1：先作用P1,再作用P2：一、功的互等定理1P121121121222P2作用方式2：先作用P2,再作用P1：

3、两种作用方式结果相同：功的互等定理：P1在P2引起的位移12上做功等于P2在P1引起的位移21上所做的功。当P1=P2时：位移互等定理：P力作用在2点而引起1点处的位移等于P力作用在1点而引起2点处的位移。二、位移互等定理说明：这里的P指的是广义的力，可以是力或力矩；是广义的位移，可以是位移或转角。例13-3求图示梁跨度中点的挠度。CBAMl/2l/2a12D(a)PCBAl/2l/2a12D(b)解：M和P为广义力P1和P2，D(b)和fC(a)为广义位移12和21，且知根据功的互等定理：§13–3卡

4、氏定理一、定理设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义)，相应在力方向的位移为1，2，…，i…。则变形能是广义力的函数：变形能的微分是：按二种方式加载同时作用P1，P2，…，Pi+dPi，…，则2.先作用dPi，再作用P1，P2，…，Pi，…，则由于U1=U2，略去二阶微量，则有二、用卡氏定理计算基本变形拉压变形当N(x)为分段常量时：2.扭转变形当T(x)为分段常量时：3.弯曲变形当M(x)为分段常量时对平面曲杆例13-4用卡氏定理求图示梁自由端的挠度和转角。PM0ARA

5、MABxl解：1.求约束反力2.列弯矩方程3.求偏导数4.用卡氏定理求fB和BfB和B的符号为正，表示位移方向与广义力方向一致Pf例13-5用卡氏定理求图示悬臂梁外伸端的挠度ACalx1x2Bq解：1.在外伸端作用虚加力Pf2.列弯矩方程3.求偏导数4.应用卡氏定理令：Pf=0fA的符号为正，说明它的方向与Pf的方向一致（向下）。PfACalx1x2BqDCBAaaax1x2x3PP例13-6图示刚架的弯曲刚度和扭转刚度分别为EI和GIp，受两个P力作用后，求A端和C端的水平位移。解：1.分析刚架的变形CD段

6、：弯曲AD段：弯曲BD段：弯曲和扭转2.列弯矩方程和扭矩方程CD段：AD段：BD段：(P2)(P1)3.求偏导数4.应用卡氏定理ABlPlCD例13-7图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与D间的相对位移。解：(1)在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力(2)求各杆的轴力NDPfABPCDYAXA12345(3)上式分别对Pf求偏导数(4)用卡氏定理求B点沿BD方向的位移(5)令上式中的Pf为零方向为B向D靠近习题图示刚架，已知AC和CD两部分的I=30×10-6m4，E=200GPa。

7、试求截面D的水平位移和转角，若P=10kN，l=1m。2PPll2lABCDP2=2PP1=Px1ABCDx3x2Mf§13–4莫尔定理一、定理...P1...P2PiP0=1按二种方式加载第一种P0=1...P1...P2PiΔ第二种P0=1...P1...P2PiΔ拉压变形：扭转变形：弯曲变形：二、应用CBAqaax1例13-８求图示梁上A截面转角和C端挠度解：1.求约束反力2.列弯矩方程CBAx1x2CBAx1x2RB=2RA=1M0=1RA=1/aRB=1/aP0=1RBRAx23.运用莫尔定理PPORA

8、例13-９求图示活塞环，在P力作用下切口的张开量。1.列弯矩方程POddsAP0=1OddsA2.应用莫尔定理解：结构和载荷均对称，取半环研究，忽略轴力和剪力影响习题平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。3l4lABCDPx1ABCDPx2x31x1ABCDx2x3习题图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo作用下，试求析轴杆自由端的线位移和角