结构动力学6-1复习提纲

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1、《结构力学》主讲：钱长照第十二章结构动力学12.12计算频率的近似法1能量法求第一频率－瑞利法2集中质量法3矩阵迭代法4结构的地震分析1能量法求第一频率－瑞利法当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能（T）和应变能（U）之和应等于常数。瑞利法的出发点:能量守恒定律以梁的自由振动为例:设:动能:最大动能:梁的自由振动应变能:最大应变能:如梁上还有集中质量miYi为集中质量mi处位移幅值假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;结构比较容易出现的变形形式;曲率小，拐点少。必须满足运动边界条件：几何边界

2、条件自然边界条件Rayleigh法主要用于求ω1的近似解由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x)。若考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用。通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替。取自重荷载作用下的曲线Y(x)的近似表达式。[例12.24]求等截面简支梁的第一自振频率。解：1）假设为抛物线:代入公式:满足边界条件:2）设精确曲线:代入公式:满足边界条件:3）梁在q作用下的绕曲线:代入公式:满足边界条件:与精确解相比，各种方法的精度还是相当高的。[例12.25]

3、求两端固定梁的第一频率。解：满足边界条件：梁在q作用下的绕曲线:代入公式:与精确值相差0.4%。[例12.26]求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。解：以各层重量当作水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移作为第一振型的近似。则最大变形能和动能:各质点处的计算:显然:如的计算:层数因此:计算过程列于下表:124.0291.7514280.06430.064157.410.11223.4467.7315360.04410.108259.428.14316.2244.2914950.02960.138228.231.48415.6028.07

4、19170.01470.153242.937.1059.2612.4718720.00670.159150.724.0263.213.2115570.00210.16252.88.52合计1091.4139.37与精确值相差:0.69%2集中质量法等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。具体作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。[例12.27]试用集中质量法求简支梁自振频率。l/2l/2(－0.7%）l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）对比分析解得：

5、解得：l/4l/4l/4l/4解得：P=1[例12.28]求自振频率。2lllEI4EI解：2)图乘3)自振频率1)简化lP=1按正对称性集中llEI4EIP=1解：1)简化2)图乘2lllP=1P=1P=13)自振频率4)自振频率汇总3矩阵迭代法矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：写成矩阵形式：缩写成：当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。计算步骤：先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后即可得到和主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算

6、，则可得到和主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。[例12.29]求自振频率和主振型。已知：m1k3k2k1m2m3解：设第一振型的第二次值第一振型的第三次值把：代人方程再计算同理：第一振型的第四次值因此第一振型为：第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。求第二振型：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式：由：得：将下式展开：得：或：得：得：令：经两轮迭代后得：故第二频率为：再由：因此第二振型为：求第三振型：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：将上面两式展开得：经求解得：令：则设第三振型为：

7、求第三频率：故第三频率为：总复习一、力法的计算方法1.力法的基本思路用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力;最后将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。2.如何选取基本结构(1)力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定结构作为基本结构。小结二、几个应注意的问题1.超静定结构的特性(

8、1)在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、制造误差等因素都可以引起内力。(2)在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的比值