《金融数学》资产组合管理

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1、第五章资产组合管理本章主要讨论风险证券的投资组合问题，也即分散投资问题.主要包括：收益率的期望和方差；两证券、多证券及含无风险证券的资产组合线及有效前沿；CAPM模型、贝塔(Beta)因子、资本市场线(CML)、证券市场线(SML)、证券特征线(SCL);系统风险和非系统风险。5.1两风险证券中的风险度量方法1设风险资产的收益率K为随机变量，参照值取期望，方差作为风险的度量。有时用收益率的标准差测量风险。单个时间段的投资问题，一般采取此收益率。其中方法2利用对数收益率的方差,或者，对多个时间段相关的投资，采用对

2、数收益率比较方便因为对数收益率满足可加性。5.1.1期望收益和方差5.1.2两证券情形用表示组合的收益率，用分别表示投资在证券1和2上的权重,则若表示卖空第i支股票。记作例1假设两种股票的每股价格分别为美元，美元，美元，购买第一种股票20股，购买第二种股票10股，求两个股票的资金分配权重。例2考虑如下资产组合：状况概率收益率收益率0.40.20.4分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险。(1)(2)(3)解：依题意得，(1)当时，(2)当时，(3)当时，由(1)、(2)和(3)发现，高收益通常伴随着高风险；另

3、外，当不允许卖空时，组合的风险介于单个风险之间(如(1)(2)所示)，当允许卖空时，组合的风险则可能比任何单个风险都大(如(3)所示)。命题5.3如果不允许卖空，则有问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组合权重(即找一个权重组合，使得组合的方差最小)？命题5.4(1)如果，当，且时，。(必须有一支股票卖空.）(2)如果，当时，。(不必卖空.）5.2资产组合线及有效前沿资产组合线(白色和红色)、非卖空(红色)及有效前沿(蓝色虚线)，下同。5.2.1含两个风险证券情形5.2.2含无风险证券和一个风险证券的情形5.

4、2.3含n个风险证券情形下面给出有效前沿的方程。对指定的期望收益率，方差最小的证券组合应在前沿上，从而求前沿上的点转化为解下列规划问题：记则对指定的，方差最小的证券组合为：此即命题5.10的结论。有效前沿：其中如前所述。因此对只含多种风险证券而言，有效前沿为双曲线的右支，最小方差的点为(),称为最小方差证券组合，记作MVP.此点权重对应命题5.9的结论。5.2.4既含多个风险证券又含无风险证券情形设含有种风险证券(股票)和一种无风险证券(债券)，以为种股票上的投资比例，则就是投资在债券上的比例。对指定的期望收益

5、率，求投资比例，使得方差最小，就是解下列规划问题：解上述规划，得知对指定的期望收益率，方差最小的投资组合为：标准差为：其中如前述。由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效前沿是过点的一条射线。会是什么样的射线呢？假设含有两支股票和及一种债券，由前面讨论知，把全部资金投入股票和，得到双曲线的一支，而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;如果把资金投资于和债券中，则连接和曲线上任意一点的射线都是可能的投资组合。因此从出发，与曲线相切的射线，为有效前沿(为什么？)记切

6、点为。如果投资者选择切点，则表示将资金全部购买股票和；如果选择点，则是把一部分资金用于买债券，余下部分用来买股票和，而资金在和上分配比例与切点一样；如果选择点，则是以借入资金，连同原有资金一起用来买股票和，而资金在和上分配比例仍与切点一样。见下页图示。有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许卖空的情形。切点证券组合，它决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。例一投资者拥有资金10000美元。(1)用4000美元购买股票，其余全部购买股票，则在点处的投资组合为；(2)如果该投资者抽取5000美元作无风险投资，其余

7、仍用于购买股票，则此时购买股票的资金分别是2000美元和3000美元。有效前沿为蓝色虚线部分，切点证券组合，决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。切点处的投资组合权重为例设风险证券和分别有期望收益率，方差分别为和，它们之间的协方差为。又设无风险利率为.求切点证券组合。5.3CAPM模型资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。它的基本假设有：投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和方差来评价此组合；投资者具有不满足性(风险相同时，期望

8、越大越好)；投资者都是风险回避者(期望相同时，风险越小越好)；任何一种证券都是无限可分的；存在一个无风险利率，任何投资者都可以依此利率不受限制地存、贷款；(6)不存在税收和交易费用；(7)所有投资者考虑的投资期都是一样的；(8)无风险利率对任何投资者都相同；(9)所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；(10)所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同投资者对每种股票的期望和方差的看