矩阵的秩的相关不等式的归纳小结资料

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1、矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一基本的定理1设A是数域P上矩阵，B

2、是数域上矩阵，于是秩（AB）min[秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是矩阵，秩（AB）秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1设A与B为n阶方阵，证明若AB=0，则r(A)+r(B)n证：设r(A)=r,r(B)=s,则由AB=0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当r=n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时B=0，即此时r(A)=n，r(B)=0,结论成立。当r〈n时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B的列向量组的秩n-r,即r（B）n-r所以r(A)+r(B)n2设A为矩阵，B为矩阵，证明不等式r(AB)r(A

3、)+r(B)-n证：设E为n阶单位矩阵，为S阶单位方阵，则由于而可逆，故r(A)+r(B)秩=秩=秩=r(AB)+r(E)=r(AB)+n从而r(AB)r(A)+r(B)-n3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）证：因为故秩（AB-E）秩秩=秩（A-E）+秩（B-E）因此秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）4设A，B，C依次为的矩阵，证明r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B)证：设分别为，s,t阶单位矩阵，则由于且是可逆矩阵，故r(AB)+r(BC)秩=秩=秩=r(ABC)+r(B)从而r(ABC)r(AB)+r(BC)-r

4、(B)5设A，B都是n阶矩阵，证明；r(AB+A+B)r(A)+r(B)证明：r(AB+A+B)=r(A(B+E)+B)利用基本定理二r(A(B+E))+r(B)利用基本定理一r(A)+r(B)6设A，C均为矩阵，B，D均为矩阵，证明r（AB–CD）r（A-C）+r（B-D）证明：根据分块矩阵的乘法可知=由此易知r（A-C）+r（B-D）=rr(AB-CD)从而得r（AB-CD）r（A-C）+r（B-D）三不等式等号成立的探讨1设A，B分别为和矩阵，则的充分条件为：证明：由得：2设A，B分别为和矩阵，则的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得证明：根据题三1，只需要证明当时，（1）（2

5、）对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去，，，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去，，时也消去了，对式（2）右端分块记为其中=，=，C=于是上述消去的行变换相当于消去其余有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使=+=，即从而有令得3设A，B，分别为矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y使得证明：设r（B）=r，因为B=HL是满秩分解所以有r(AB)=r(AHL)=r(AH)r(BC)=r(HLC)=r(LC)则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B

6、)r(AHLC)=r(AH)+r(LC)-r又由上题得r(AHLC)=r(AH)+r(LC)-r矩阵X,Y使得所以3得证4设A为n阶矩阵，证明如果=E，那么r（A+E）+r（A–E）=n证明：(A+E)(A–E)=+A–A–E=E–E=0r（A+E）+r（A–E）nr(A+E)+r(A–E)r(A+E+A-E)=r(2A)=r(A)=E=E，即0r（A）=nr(A+E)+r(A-E)n故r（A+E）+r(A-E)=n5设A为n阶矩阵，且=A，证明r（A）+r（A-E）=n证明：由=A，可得A（A–E）=0由题一1知，r（A）+r（A-E）n又因为E-A和A-E有相同的秩n=r(E)

7、=r(A+E–A)r(A)+r(E–A)从而r(A)+r(A–E)=n6设A是阶矩阵，则=A的充分必要条件是r（A）=r（A-）+r（A+）证明：必要性一方面，由=A（E-A）A（E+A）=0由题二4知0r[（E-A）A]+r[A(E+A)]-r(A)即r（A）r（A-）+r（A+）另一方面，由r（A-）+r（A+）r[（A-）+（A+）]=r（2A）=r（A）所以r（A）=r（A-）+r（A+）充分性若r（A）=r（A-）+r（A+）设r(A)=r,A的满秩分解是A