参数估计极大似然法

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1、极大似然估计法极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,….若在一次试验中,结果A出现,则一般认为A出现的概率最大,也即试验条件对A出现有利.或者说在试验的很多可能条件中，认为应该是使事件A发生的概率为最大的那种条件存在.极大似然估计的基本思想例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已知它们的数目之比是3:1,但不知是白球多还是红球多.设随机地在盒子中取一球为白球的概率是p.如果有放回地从盒子里取3个球,那么白球数目X服从二项分布如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的可能性比来自p=

2、3/4的总体的可能性要大.一般当X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计p=3/4.极大似然估计法的思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为令参数的估计量，使得样本（X1,X2,…,Xn）落在观测值的邻域内的概率L()达到最大，即则称为参数的极大似然估计值。令求极大似然估计的一般步骤归纳如下：例:设随机变量X服从泊松分布:其中λ>0是一未知参数,求λ的极大似然估计.解设(x1,x2,…,xn)是样本(X1,X2,…,Xn)的一组观测值.于是似然函数两边取对数得从而得出λ的极大似然估计量为解这一方

3、程得解总体X服从参数为λ的指数分布，则有所以似然函数为取对数令解得λ的极大似然估计值为极大似然估计量为例:设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本,其中μ,σ2是未知参数,参数空间Θ={-∞<μ<∞,σ2>0}.求μ与σ2的极大似然估计.解正态分布的似然函数为两边取对数得由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然估计.分别求关于μ与σ2的偏导数,得似然方程组解这一方程组得例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为求未知参数θ的极大似然估计.解设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本.似然函数为要使L(θ;x1,x2,…,xn)达到最大,就要

4、使θ达到最小,由于所以θ的极大似然估计值为：参数θ的极大似然估计量为：例假设（X1，X2，…，Xn）是取自正态总体N(,2)的样本，求和2的极大似然估计量。解构造似然函数取对数求偏导数，并令其为0解得所以μ，2的极大似然估计量为与矩估计量相同例设总体X~N(,2),x1,x2,…,xn是X的样本值,求,2的极大似然估计.解7-26,2的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27