血管三维重建的问题

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1、血管三维重建的问题摘要：本文介绍了2001年全国大学生数学建模竞赛A题的背景和立意，对题目的条件作了必要的分析，并对各参赛组对该问题的思路和解法进行归纳总结。关键词：数学建模；中轴线；三维重建分类号：AMS(2000)65D17中图分类号：0424．1文献标识码：A1A题的背景今年全国大学生数学建模竞赛选用了我们提出的血管三维重建问题作为A题，它是将血管作为一类特殊的管道看待，或者说，将血管理解为一个半径为常数的滚动球随着其球心沿着一条称之为中轴线的曲线运动时所形成的包络。它要求参赛者根据给定的100张

2、等间距的平行平面的血管横断面的图象数据，重建血管空间结构的数学模型，即确定滚动球半径r和中轴线。这问题的来源于序列图象的计算机三维重建[1-4]。序列图象的计算机三维重建是应用数学和计算机技术在医学与生物学领域的重要应用之一；是医学和生物学的重要研究方法，它帮助人们由表及里、由浅人深地认识生物体的内部性质与变化，理解其空间结构和形态。我们知道，生物体的外部形态多种多样，但借助一定的辅助工具，人们凭肉眼一般都能观察清楚；而其内部的复杂结构，却不是一目了然，只有剖开来，才能看个究竟。剖的方法很多，其中一种是

3、做成切片。所谓切片就是用一组等间距的平行平面将生物体中需要研究的部位切成簿簿的一片片，每一片就是生物体某一横断面的图象。按顺序排列起来就形成切片图象序列，或称序列图象。切片的制作过程实际上是一个分解的过程，即将一个空间中的生物体的有关部分，分解为一系列的平面图象。如临床中的病理切片，又如美国国家医学图书馆已将二名尸体分别切成二千和五千多片，制成一套标准的切片图象序列供研究之用。当然，这种切片的获取方法是破坏性的，不适用于对活体组织的研究；自二十世纪七十年代末陆续出现的X线CT、MRI、SPECT、PEC

4、T、超声断层等为现代医学无损检测提供了强有力的诊断手段，它们在切片图’象获得后，不会造成生物体本质性破坏，已成为获取断层图象序列最重要的诊断手段。切片图象序列把生物体内部的各种复杂结构和变化一层层地暴露出来了，人们通过依次对每张切片图象的观察、分析和比较，综合起来可以形成对生物体内部结构的立体认识。从几何角度看，这种综合就是由切片图象序列恢复生物体内部结构的几何形状，称此为序列图象的三维重建。这项工作，过去是在人脑中进行的，专业人员通过观察，凭经验在自己头脑里想像出生物体的内部结构和几何形状。在今天当然

5、把这项繁杂的工作交由计算机完成，实行序列图象的三维重建的计算机化、自动化。序列图象的计算机三维重建是切片制作的逆过程，很复杂，需要综合运用图象处理、图形学、计算机辅助几何设计等多学科的方法，是当前研究的前沿和热点课题之一；它建立了反映生物体内部结构的几何模型或数学模型，利用这种模型，人们可以进行各种分析、处理以及信息的传输等操作。血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重要性是众所周知，诊断师在临床中经常需要了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学模型是图象三维重

6、建的重要一环。2A题的立意A题的立意是前沿性、交叉性、对照性和通俗性。前沿性血管三维重建的问题是从序列图象的计算机三维重建这一研究前沿课题中选题。事实上，重建的问题不仅在图象研究中出现，也在CAD等其他领域内出现。例如在缺乏数学模型的条件下要由计算机控制复制叶片、零件、工艺品等时，首先要求为这类需要复制的曲面建立数学模型，其方法是从这类曲面上进行采样，获取位于曲面上大量点的位置信息，然后进行分片表示，这项工作称为曲面重建。由于其过程正好与从数学模型出发制造曲面的过程相反，故又称为逆向工程。曲面重建方法很

7、多，其中一种重要方法是序列图象三维重建，它在一簇等间距的平行平面与曲面的横断线面上采样，然后运用织网、蒙皮等技术进行建模。曲面重建或逆向工程近几年来发展迅速，正出现蓬勃之势。血管的三维重建比一般的曲面的重建简单，但“一滴水见太阳”，可以反映曲面重建基本的思想方法，可以使人们初步感觉到曲面重建研究的前沿气氛。交叉性完成A题需要综合运用多学科知识，进行学科交叉；要运用图象处理的方法获得数据，要运用图形学的算法确定内切球，进而重建血管的三维结构；要运用数学方法建模与检验。其中数学是多学科交叉中的核心，她为我们

8、提供必要的理论基础。数学是古老的学科，历史悠久；图象处理、图形学、计算机科学都是年青的学科，但发展很快，在高科技中发挥着巨大的作用。数学与它们以及其他学科的交叉结合，有力推动了许多新生长点的涌现，序列图象在计算机三维重建是这种生长点之一。这种交叉过程也推动了数学自身的发展，血管三维重建中许多概念与数学中的等距线、等距面、包络面和扫掠曲面等概念紧密相连。由于应用的需要，使得这些经典的数学概念常讲常新，并成为与当前计算机辅助设计与辅助制造中的研