A题 血管的三维重建

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1、A题血管的三维重建四院九九向为王瑛伍微摘要：对此问题我们提出的是一个搜索模型，从而求出原始球（形成包络的球）的半径，以及中轴线。首先我们把每一个切片图的bmp文件转化为一个512×512的0,1矩阵（0代表无象素，1代表有）。再求切片的轮廓线，也存为0，1矩阵。然后在题设条件下证明了以下几个结论：1．能够被切片包含的半径最大的圆的半径等于原始球（形成包络的球）的半径；2．可以被切片包含的圆的半径一定小于等于原始球的半径；3．不能被包含于切片的圆的半径一定大于原始球的半径。根据上述结论，对每一个切片，只要找到能够被切片包含的半径最大的圆就能求出原始球的半径。我们设计了一个二分搜索算法求该半

2、径，再根据半径搜索求出每个切片和中轴线相交的点的坐标。算法概要：1．求粗略的rmax（原始球半径上限）；2．求粗略的rmin（原始球半径下限）；3．切片内所含的标准圆（以原始球的半径为半径的圆）的圆心O不可能在离切片边缘距离小于rmin的点。则在切片上去掉这些点后，就得到了O可能存在的位置区域；4．用二分法不断缩小原始球半径r0可能的取值范围，从而求出r0；5．求出切片内所含的标准圆的圆心的坐标，这就是为切片和中轴线相交的点的坐标。搜索原始球的半径时，因为所给的图象数据的精度有限，所以在执行算法时遵循以下规则：1．在判断一个圆面是否有一部分在切片的外部时，把这个圆和切片都看成由一个一个的

3、像素点组成，若圆面中有像素点在切片的外部，就认为圆超出了切片；2．几何上的半径为r的圆面转化为像素圆面的方法是，当一个像素的中心离圆心的距离小于等于r时，这个像素属于这个圆面；3．因为所给数据精度有限，所以包含于切片中的以原始球的半径为半径的圆可能不止一个。取这些圆的圆心的重心为含于切片内的标准圆的圆心，即中轴线与切片的交点。最后对中轴线上已知的点进行拟合，由于一个z只对应于一个x和一个y,故可分别对其投影分别在YZ、ZX平面上进行多项式拟合，求出y=f1(z)和y=x=f2(z)。则中轴线的空间方程即为上两式的联立。用本模型可以对每一个切片求出一个r0(原始球的半径)，共求出100个r

4、0。这些r0的平均值为30.1706，方差为0.0176。可见r0的精度很高。这个模型采用了较巧妙的搜索算法，求解结果可以达到很高的精度。能够很好的重建包络，并加以分析，在医学方面有很大作用。14一．问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1mm的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种

5、管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，

6、z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。二．基本假设1.管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2.球半径固定；3.切片间距以及图象象素的尺寸均为1；4.血管无断裂无突变，即管道表面光滑且连续；5.对切片拍照的过程中不存在误差，数据误差仅与切片数字图象的分辨率有关；6.假设中轴线的曲率相对于标准圆的曲率较小。三．术语及符号说明术语说明：切片：指包络表面与切平面相交而成的曲线围成的区域。原始球：指沿中轴线滚动形成包络的球。标准圆：指

7、与原始球等半径的圆。符号说明：r0原始球的半径。（由基本假设中2.可知，半径r0固定，为常数）rmaxr0的上限rminr0的下限Oj在切片内部且与切片相切的标准圆的圆心14COj可能存在的区域s切片面积smin在100个切片图中，切片面积s的最小值E常数，为r0的误差限四．问题分析及模型建立首先我们证明了：“在题给条件下，任意一个切片中所能容纳的最大的圆，即为标准圆，且此圆唯一”等结论（证明详见附录1）由这些结论可知：1．切片包含