空间误差分析第三章协方差传播率及权

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1、空间数据误差处理SurveyingAdjustment第三章协方差传播率及权第三章协方差传播率及权§3-1数学期望的传播§3-2协方差传播率§3-3协方差传播率的应用§3-4权与定权的常用方法§3-5协因数和协因数传播率第三章协方差传播率及权§3-6由真误差计算中误差及其实际应用§3-7系统误差的传播小结作业§3-1数学期望的传播数学期望的性质E(C)=C（C为常数）E(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)推广：E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)§3-1数学期望的传播当X,Y独立时，E(XY

2、)=E(X)E(Y)推广：E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)§3-2协方差传播率协方差传播率的作用观测值线性函数的方差多个观测值线性函数的协方差阵非线性函数的情况§3-2协方差传播率一、协方差传播率的作用计算观测向量函数的方差——协方差阵，从而评定观测向量函数的精度。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律，是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。§3-2协方差传播率二、观测值线性函数的方差问题：设有观测值向量X,其数学期望为μX，协方差阵为DXX,即：§3-2协方差传播率又设有的线性函数为：即：求：

3、Z的方差DZZ§3-2协方差传播率（1）纯量形式（2）当σij=0时（i≠j）§3-2协方差传播率例1：在1：500的地图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d的量测中误差σd=0.2mm。求实地距离S及其中误差σS。例2：设X为独立观测值L1,L2,L3的函数已知L1、L2、L3的中误差为σ1=3mm，σ2=2mm，σ3=1mm，求函数的中误差σX§3-2协方差传播率例3.在测站A上，已知∠CAB=α，设无误差，而观测角β1和β2的中误差为σ1=σ2=1.4″，协方差σ12=-1（秒2），求角x的中误差σxβ1β2x§3-2协方差

4、传播率三、多个观测值线性函数的协方差阵问题1：若有的X的t个线性函数§3-2协方差传播率令即求：Z的协方差阵§3-2协方差传播率§3-2协方差传播率问题2：设另有X的r个线性函数§3-2协方差传播率令即求：Y的协方差阵和Y关于Z的协方差§3-2协方差传播率§3-2协方差传播率（1）DZY的取值（2）Y=Z时，§3-2协方差传播率§3-2协方差传播率例4.设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1,L2,L3，其中误差为σ。试求将三角形闭合差平均分配后的各角的协方差阵。§3-2协方差传播率例5.设有函数：已知X和Y的协方差阵和，X关

5、于Y的互协方差阵为，求Z的方差阵和Z关于X及Y的协方差阵和。§3-2协方差传播率四、非线性函数的情况1.单个非线性函数设有观测值的非线性函数Z=f(X),或已知X的协方差阵DXX,求Z的方差DZZ为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。补充§3-2协方差传播率2.多个非线性函数设有观测值的多个非线性函数和求：DZZ、DYY、DYZ§3-2协方差传播率（1）求DZZ：将t个非线性函数求全微分§3-2协方差传播率记§3-2协方差传播率（2）求DYY：将r个非线性函数求全微分§3-2协方差传播率记§3-2协方差传播率（3）求DYZ：

6、将r个非线性函数求全微分§3-2协方差传播率§3-2协方差传播率例6.如图为一块土地面积按比例尺的放样，图中全部内角均已知为直角，给定数据为试计算矩形ABFG的面积Z及其方差。ABFGDCHE§3-2协方差传播率例7.设在ΔABC中，观测三个内角L1,L2,L3，将闭合差平均分配后得到的各角之值为按例4的方法求得它们的协方差阵为已知边长S0=1500.000m（无误差），试求Sa，Sb的长度和它们的协方差阵DSS。§3-2协方差传播率3.应用协方差传播律的具体步骤为：（1）按要求写出函数式，如：Z=KX或（2）如果为非线性函数，对函数式

7、求全微分，得：（3）写成矩阵形式：（4）应用协方差传播律求方差或协方差阵。§3-3协方差传播率的应用水准测量的精度同精度独立观测值的算术平均值的精度若干独立误差的联合影响交会定点的精度GIS线元要素的方差时间观测序列平滑平均值的方差§3-3协方差传播率的应用一、水准测量的精度a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1§3-3协方差传播率的应用当各测站高差的观测精度相同时，水准测量中高差的中误差与测站数的平方根成正比。当各测站的距离大致相等时，水准测量中高差的中误差与距离的平方根成正比。一公里观测高差

8、的中误差§3-3协方差传播率的应用例1：在已知水准点A、（高程为真值）间布设水准路线，如图，路线长分别为s1=2km,s2=6km,s3=4km，设每公里观测高差的中误差为σ公里=1.0mm，试求：（1）