第三章_协方差传播律及权.ppt

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1、第三章协方差传播率及权§3-1协方差传播率及其应用§3-2权与定权的常用方法§3-3协因数阵与权阵§3-4协因数传播率§3-5由真误差计算中误差及其实际应用§3-6系统误差的传播概念直接观测量非直接观测量独立观测值非独立观测值协方差传播率协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度β。P点坐标为：式中：现在的问题是在已知观测边长s和角度β的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。§1协方差传播律

2、及其应用一、观测值线性函数的方差设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即式中为的方差，为和的协方差，又设有的线性函数为：令：则：对上式两边取数学期望：Z的方差为：即：当向量中的各分量两两独立时，它们之间的协方差=0，此时上式为：线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：例1在1：500的图上，量得某两点间的距离=23.4mm,d的量测中的误差=±0.2mm，求该两点实地距离及中误差。解：最后写成:二、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量和，的数学期望和协方差阵分别为和，的数学期望和协方差阵分别为和，关于的互协方

3、差阵为。若有的个线性函数：若令：则：设另有的个线性函数令则根据互协方差阵的定义：协方差传播律设有观测值向量和的线性函数：的协方差阵，的协方差阵，关于的互协方差阵为（），、、、为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式：可以看出：线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同，且推导过程也相同；所不同的是：表示的是一个方阵；前者是一个函数值的方差（1行1列）；而后者是t个函数值的协方差阵（t行t列）。即：前者是后者的特殊情况。例2设有函数：X的方差阵，Y的方差阵，X关于Y的互协方差阵为()，其中为常系数阵。求：、、、

4、、、、（1）计算、、（2）计算（3）计算（4）计算，（表示单位阵）（5）计算或:小结协方差传播律：§3-1协方差传播律三、非线性函数的方差传播律设有观测值X,数学期望为μX,协方差阵为DX，若有X的非线性函数为:如何求Z的方差阵？即解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的问题。非线性函数的线性化的方法是：---将函数按泰勒级数展开，略去高次项⑴泰勒公式如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开

5、为当x非常接近x0时，则可以舍去二次以上各项，即线性函数三、单个非线性函数设有观测值的非线性函数：或表示为已知的协方差阵，求的方差。假定观测值有近似值：将函数式按泰勒级数在点处展开为：式中是函数对各个变量所取的偏导数，并以近似值代入所算得的数值，它们都是常数，当与非常接近时，上式中二次以上各项很微小，可以略去，将上式写为：令：得：这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差。如果令：则上式可写为上式是非线性函数式的全微分。根据协方差传播律：为求非线性函数的方差，对它求全微分就可以了。四、多

6、个非线性函数如果有的个非线性函数将个函数求全微分得若记则有：根据协方差传播律得的协方差阵：因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可用泰勒级数展开或求全微分。例3量得某矩形的长和宽为和，且，计算该矩形面积的方差。解：面积：线性化:用协方差传播律得：课本P35(3-6)例4：已知角度观测向量试求函数的中误差。解：非线性函数两边全微分得：为什么除ρ″按方差传播律：中误差为：注：先取对数然后再全微分能简化计算。协方差传播律小结线性函数：2.非线性函数只需对函数全微分，然后按协方差传播律计

7、算即可。应用协方差传播律的具体步骤1.按要求写出函数式，如：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3.写成矩阵形式：或4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。应用协方差传播率解决精度问题的步骤：1.确定观测向量X，及其方差阵DXX2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系若为非线性函数，则线性化（全微分即可）3.利用传播率公式计算注意单位统一。§3-2协方差传播律的应用一．水准测量的精度一．水准测量的精度设水准测量中每一测站观测高差的精度相同,其方差均为,若某水准路线有N个测站，则其高差的方差和中误差为在平坦地区

8、的水准测量中，每公里的测站数大致相等，因此，每公里观测高差的方差相等为，若某水准路线长S公里，则观测高差的方差和中误差分别为结论的用法：已知任量求第三量例1.在单一水准路线AB上，为求待定点P的高程，观测了高差L1，L2，其相应的路线长度S1=4km，S2=2km，已知每公里观测高差中误差为σkm=1c