2016暑期综合实训编程实验问题

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1、综合编程实验问题第一章常微分方程问题求解第1节ODE45求解初值问题1.基于数学建模中的传染病模型，应用ODE45求解传染病SIR问题，在同一图中画出i(t)和s(t)随t变化的曲线。对于不同的初始条件，在相平面中画出三条相轨线。2.基于数学建模中的种群竞争模型，种群依存模型和食饵捕食模型，应用ODE45求解模型，在时间空间和相平面上画出种群变化的图像，分析稳定点的稳定性。第2节编程计算ODE初值问题1。编一个用Euler方法解的程序，使之使用于任意右端函数，任意步长和任意区间。用分别计算初值问题在结点打印出问题的精

2、确解（真解为。计算近近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）2.编一个与上题同样要求的改进Euler法的计算程序，的初值用Euler方法提供，迭代步数为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个绍果加以比较。3。编一个程序用Taylor级数法求解问题取Taylor级数法的截断误差为，即要用的值[提示：可用一个简单的递推公式来获得4。用四阶古典方法（或其他精度不低于四阶的方法），对时的标准正态分布函数产生一张在之间的80个等距结点（即）处的函数值表。[提示:寻找一个以为解的初值问题］

3、。5。（一个“刚性”的微分方程）用四阶方法解初值问题：取。每隔8步打印出数值解与真解的值（），画出它们的大致图象，并对产生的结果作出解释。[提示:当初值时，方程的真解为]6.分别用Adams二步和四步外插公式，用求解。将计算结果与真解进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。7。用Adams二步内插公式预测、Adams四步外插公式校正一次的预-校算法重新求解上题的方程、将结果与上题作比较．并解释产生差异的原因。8。对（1.3）式所示的Lotka-Volterra“弱肉强食’模型，令，，即（l）取，用任过一种精度不低于三

4、阶的办法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出的图像及关于的图像。（2）对解这同一个模型．分别画出关于的函数图象。（3）讨论所获得的结果并分析原因。[提示:注意平面上的点（3，2）、它被称为平衡点)第3节常微分方程边值问题1.调用函数bvp4c求解MATLAB的的5个例子，分析把高阶方程变为等价的一阶方程组的方法，剖析程序，总结编程求解过程。2.取和，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确解比较（1），精确解：（2），精确解：精确解：。（3），精确解：并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有此小的原因。§5数值方法

5、（英文版）习题和实验项目（ODE数值解，9.1.3习题）16．考虑一阶微分方程证明：一般解可用两个特殊积分求出。首先定义如下：然后，定义为提示：对乘积求导。17．考虑放射物的衰减。如果是t时刻放射物的量，则将逐渐减少。实验表明，的变化率与未衰减物质的量成正比。于是放射物衰减的初值问题为(a)证明其解为。(b)放射物质的半衰期是初始物质衰减一半所需的时间，14C的半衰期是5730年。请给出求t时刻14C的量的公式。提示：求k使得.(c)分析一块木头后知，其中的14C的量是树木活着时的0.712，该木头样本的年代有多久?

6、(d)在某个时刻，一种放射物质的量为10mg，23s之后，该物质只剩1mgg。该物质的半衰期为多少t在习题18和习题19中，推导初值问题的方程并求解。18·一个新的职业足球联赛的年度售票量计划以正比于t时刻的销售量和上限3亿美元之差的速度增长。假设最初的年售票量为0美元，并且必须在3年后达到4000万美元(否则联赛取消)。基于这些假设，年销售量需要多久能达到2200万美元?19．一个新图书馆的内部容量为5百万立方英尺。通风系统以每分钟4．5万立方英尺的速度引入新鲜空气。在通风系统打开之前，图书馆内部的二氧化碳和外面新

7、鲜空气中的二氧化碳量分别为0.4％和0.5％。求通风系统打开2小时之后图书馆中的二氧化碳百分比.9.2欧拉方法7．汪明当用欧拉方法求解上的初值问题时，结果为，它是逼近区间上的定积分的黎曼(Riemann)和。8．说明欧拉方法不能求初值问题：的近似解。证明你的结论，其中遇到了什么困难?9．能用欧拉方法求解[0，3]上的初值问题吗?提示：精确解为。p-7·指数种群增长。某一种群以正比于当前数量的速度增长，且遵循[O，5]上的初值问题(a)应用公式(10)，求出y(5)的欧拉逼近，步长为h=1，h=1/12和h=1/360

8、.(b)(a)中当h趋下0时的极限是什么?p-8.一名跳伞运动员自飞机上跳下，降落伞打开之前的空气阻力正比于(v为速度)。设时间区间为[O，6]，向下方向的微分方程为用欧拉方法和h=0.05估计中v(6)的值。p-9．流行病模型。流行病的数学模型描述如下：设有L个成员的构成的群落，其中有P个感染个体，Q为未感染个体。令)表示时刻t感染个体的数量