用正交多项式做最小二乘拟合

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1、3.5.2用正交多项式做最小二乘拟合如果是关于点集带权正交的（5.8）用最小二乘法得到的法方程组（5.6），其系数矩阵是病态的.函数族，即1（5.9）则方程（5.6）的解为且平方误差为2接下来根据给定节点及权函数构造带权正交的多项式.注意，用递推公式表示，即（5.10）根据的这里是首项系数为1的次多项式，正交性，得3（5.11）下面用归纳法证明这样给出的是正交的.4假定对及要证对均成立.由（5.10）有由（5.10）第二式及（5.11）中的表达式，有均成立，（5.12）5而，于是由（5.12），当时，另外，是首项系数为1的次多项式，它可由由归纳法假定，当时的线性组合表示.由归纳

2、法假定又有6由假定有再考虑（5.13）利用（5.11）中表达式及以上结果，得7至此已证明了由（5.10）及（5.11）确定的多项式组成一个关于点集的正交系.用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式（5.10）及（5.11）逐步求的同时，相应计算出系数最后，由和的表达式（5.11）有8并逐步把累加到中去，最后就可得到所求的用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变.这里可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合曲线93.6最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换当是周期函数时，显然用三角多项式逼近比用代数多项

3、式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法.103.6.1最佳平方三角逼近与三角插值设是以为周期的平方可积函数，用三角多项式（6.1）做最佳平方逼近函数.由于三角函数族在上是正交函数族，于是在上的最小平方三角逼近多项式的系数是11称为傅里叶系数.函数按傅里叶系数展开得到的级数（6.3）就称为傅里叶级数.（6.2）12只要在上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到.对于最佳平方逼近多项式（6.1）有由此可以得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式因为右边不依赖于，左边单调有界，所以级数13当只在给定的离散点集上已知时，则可类似得到离散点集正交

4、性与相应的离散傅里叶系数.下面只给出奇数个点的情形.收敛，并有14可以证明对任何成立令15这表明函数族在点集上正交.若令则的最小二其中乘三角逼近为16当时于是（6.4）就是三角插值多项式，系数仍由（6.4）表示.17由于所以函数族在区间上是正交的.一般情形，假定是以为周期的复函数，给定在个等分点上的值函数在等距点集上的值组成的向量记作18当时，个复向量具有如下正交性：（6.5）19事实上，令于是即若若则有则从而20于是若这就证明了（6.5）成立.即是正交的.则于是因此，在个点上的最小二乘傅里叶逼近为21（6.6）其中（6.7）在（6.6）中，若，则为在点上的插值函数，于是由（6.

5、6）得即（6.8）22（6.7）是由求的过程，称为的离散而（6.8）是由求的过程，称为反变换.傅里叶变换.简称DFT，233.6.2快速傅氏变换（FFT）不论是按（6.7）式由求，由求，（6.9）其中(正变换)或(反变换)，还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算是已知复数序列.或是按（6.8）24当较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，如直接用（6.9）计算，需要次复数乘法和次复数加法，称为个操作，计算全部共要个操作.直到20世纪60年代中期产生了FFT算法，大大提高了运算速度，从而使傅氏变换得以广泛应用.FFT算法的基本思想就是尽量减

6、少乘法次数.25用（6.9）计算全部，表面看要做个乘法，实际上所有中，只有个不同的值特别当时，只有个不同的值.因此可把同一个对应的相加后再乘，这就能大量减少乘法次数.26设正整数除以后得商及余数，则，称为的同余数，以表示.由于因此计算时可用的同余数代替，从而推出FFT算法.以为例.说明FFT的计算方法.由于则（6.9）的和是（6.10）故有27将用二进制表示为其中只能取0或1，例如根据表示法，有公式（6.10）可表示为28（6.11）若引入记号（6.12）29则（6.11）变成它说明利用同余数可把计算分为步，用公式（6.12）计算.每计算一个只用2次复数乘法，计算一个用次复数乘法

7、，计算全部共用次复数乘法.若注意公式（6.12）还可进一步简化为30将这表达式中二进制表示还原为十进制表示：31（6.13）同样（6.12）中的也可简化为即即得32把二进制表示还原为十进制表示，得（6.14）同理（6.12）中可简化为即33表示为十进制，有（6.15）34根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，由逐次计算到见表3-2(略）.上面推导的的计算公式可类似地推广到的情形.根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，一般情况的FFT计算公式如下：35（6.