生产计划的制定(I)

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1、§2生产计划的制定7/18/20211企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。下面举例说明这些优化问题的建模过程（作业排序问题以后讨论）。7/18/20212例1某厂有n

2、种产品J1，J2，…，Jn，单位数量产品的利润为c1，c2，…，cn，根据市场调查，其需求不超过q1，q2，…，qn，按照工厂生产能力，单位数量Ji（i=1,2，…，n）所需人力资源为a1i，所需设备资源为a2i，所需原料为a3i，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为b1,b2,b3，问工厂在制定生产计划时应如何确定这n种产品的产量。解：这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。7/18/20213决策变量应是问题要求确定的量——各产品的产量,记以xi（i=1，2，…，n）目标函数显然应是

3、总利润(1)人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件(2)(3)(4)(5)7/18/20214问题归结为在条件（2）~（5）下求x1，x2，…，xn，使（1）式给出的C最大。记c=(c1，c2，…，cn)T，x=(x1，x2，…，xn)T，b=(b1,b2,b3,q1,q2,…,qn)T，7/18/20215则这个优化模型可表示为MaxC=cTx（6）s.t.Ax≤b（7）x≥0（8）在运筹学中（6）~（8）称为线性规划，因为决策变量x在目标函数和约束条件中都是线性的。例2工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段

4、）的需求分别为d1，d2，…，d10，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，2~6是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数。如4个5装配1个3。7/18/202161~6统称项目。现在考虑两种费用：生产准备费和贮存费。如果某时段生产项目i，则需准备费si（与生产数量无关）；如果将以后时段对i的需求也提前生产出来（目的在于节省准备费），则单位时段需贮存费hi（可看作资金的积压）。假定各项目的生产能力都是无限的，即在一个时段内可以完成任意数量的生产，且各项目都不需要生产提前期。试制订各项目的生产批量计划，即每个项目每时段各生产多少，使总费用最少。图1

5、124536214117/18/20217解：决策变量是各项目在各时段的产量，记xij为项目i在时段j的产量（i=1，2，…，6，j=1，2，…，10）。目标函数是生产准备费与贮存费之和，记Iij为项目i在时段j的贮存量，则总费用可表示为(1)(2)其中（x）=0（若x=0）；（x）=1（若x>0）。Iij与Xij的关系可表为以下的约束条件7/18/20218(3)(4)其他约束条件有(5)(6)7/18/20219问题归结为条件（2）~（6）下求xij，使（1）式给出的Z最小，这是无资源约束下多项目的生产批量模型。因为目标函数中的yij取整数值0，

6、1（一般xij和Iij取值相当大，可视为实数），所以在运筹学中称为（混合）整数规划。在模型中没有考虑项目的生产费用，这是因为需求必须满足，各时段生产量之和是个常数，只要各项目单位数量的生产费用不随时段改变，那么总的生产费用仍为常数，所以最优决策与这部分费用无关。7/18/202110例3如果例1给出的问题还要考虑下列因素，试重新求解。1）要力争达到并超过去年的总利润M；2）充分利用现有人力资源，但不希望增加劳动力；3）J1和J2属同类产品，但J1已老化，将退出市场，故J1的产量不要超过J2。解：与例1只有一个目标不同，这里有3个目标，属于多目标决策问

7、题，目标规划模型是解决这类问题的方法之一，其思路是首先引入一些新的决策变量，即对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量（指决策值与目标值间的偏差），然后利用权重系数，将多目标问题化为单目标问题，使这些偏差的总和尽量小。7/18/202111对于本题，我们设利润超过M的部分为正偏差d1+，不足M的部分为负偏差d1-，人力资源超过b1的部分为正偏差d2+，不足b1的部分为负偏差d2-；J1产量x1超过J2产量x2的部分为正偏差d3+，不足部分为负偏差d3-。需要指出的是，由于决策值不可能既超过目标值，又未达到目标值，dk+，dk-（k=1，2，3）二者

8、必有一个为零，即dk+·dk-=0，且按定义，它们均为非负值。按照问题的要求，在将这3个目标综合为单目标时，