理论力学--振动基本理论

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1、17振动基本理论1振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。振动（Vibration）:系统在平衡位置附近作往复运动。振动的利弊：利：振动给料机；弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛；引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等。消耗能量，降低精度等。2研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。单自由度系统的振动按系统的自由度分多自由度系统的振动弹性体的振动振动的分类：3按振动产生的原因分：自由振动强迫振动自激振动无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）

2、无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动417.1单自由度系统的自由振动实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。质量—弹簧系统振体5617.1.1自由振动微分方程如图17-1所示振动系统，设物块的质量为m，弹簧原长为l0，刚度系数为k。物块在平衡位置时，弹簧的变形为，称为静变形。平衡时，重力G与弹性力相等，即弹簧的静变形为（17-1）取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的作用力大小为7（17-2）根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为令（17-3）单自由度系统无阻尼自由振动（Freevibration）微分方程的

3、标准形式。8通解：（17-4）任意瞬时的速度为当t=0时，x=x0，v=v0，可求出积分常量令式（17-4）可写成（17-5）9（17-6）无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图17-2所示。1017.1.2自由振动的特点（17-7）无阻尼自由振动的周期无阻尼自由振动的频率（17-8）（1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是周期运动，设周期为T11（17-10）（17-9）表示物体在2p秒内振动的次数，称为圆频率（Circularfrequency）。只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称为固有圆频率（固有频

4、率（Naturalfrequency））。其单位与频率f相同，为赫兹（Hz）。12A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅（Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；称为振动的相位（Phase）（或相位角），单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t的位置，而q称为初相位，它决定了物块运动的起始位置。（2）振幅和初位相13例17-1求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为m，摆绳长为l。解：单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏离垂线的夹角j作为角坐标。摆球受到重力mg和绳拉力F的作用。取j的增大方向为正向，依据动量矩定理，得14微幅振动

5、固有圆频率周期为15例17-2滑轮重量为G，重物M1，M2重量为G1，G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动的周期。解：以滑轮偏离其平衡位置的转角j为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。当系统在任意位置j时，弹簧的变形量为依据动量矩定理，有16系统对点O的转动惯量系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对点O之矩相互抵消，即17（1）弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1，k2的弹簧组成的两种并联系统。17.1.3弹簧的并联与串联在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相等，由物块的平衡条件可得将并联弹

6、簧看成为一个弹簧，其刚度系数，称为等效刚度系数（Equivalentstiffness）。（17-11）18并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为19（2）弹簧串联。图17-6表示两个弹簧串联，两个弹簧的刚度系数分别为k1，k2。在物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为将串联弹簧看成为一个弹簧，其等效刚度系数为keq，则有弹簧总的静变形为20（17-12）表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和。串联弹簧系统的固有频率为（17-13）2117.

7、2计算固有频率的能量法求系统固有频率的方法：（1）运动微分方程法（2）静变形法（3）能量法。能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。22对于如图17-1所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动规律为速度：动能：选静平衡位置为零势能位置，系统的势能：23物块处于静平衡位置时，势能为零，动能最大，即物块距振动中心最远时，动能为零，势能最大，即无阻尼自由振动系统是保守系统，机械能守恒对于质量弹簧系统，固有频率为：这种求振动系统固有频率的方法称为能量法。24例17-3如图17-7所示系统中，圆柱体半径为r，质量为

8、m，在水平面上滚而不滑；