3 竞赛辅导：集 合

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1、竞赛专题：集合一、知识要点集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．有限集合所含元素个数的几个简单性质（容斥原理）设表示集合所含元素的个数,（1）,当时，（2）－2.有关集合的问题主要有3类：（1）判断问题判断元素和集合的相属关系，判断两个集合之间的关系（2）运算问题综合方程，函数，不等式等知识考查集合的并集、交集与补集运算（3）计数问题计算集合中元素的

2、个数问题是数学竞赛中的热点问题，通常需要利用集合的性质、运算法则，以及容斥原理、抽屉原理、对应原理等知识的综合解决.二、典型例题元素与集合的关系1．设＝{

3、＝,}，求证：（1）∈()；（2）2．设为满足下列条件的有理数的集合：①若∈，∈，则+∈，；②对任一个有理数，三个关系∈，－∈，＝0有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系及运算在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断

4、元素与这两个集合的关系入手。3．设函数，集合，。(1)证明：(2)当时，求。(3)当只有一个元素时，求证：．4.．已知集合：问（1）当取何值时，为含有两个元素的集合？（2）当取何值时，为含有三个元素的集合？5．设且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。6．为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？7.设集合，求和（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）有限集

5、元素的个数（容斥原理）8.设，的子集且满足条件：当时，，则中元素个数最多是.9..已知对任意实数，函数都有定义，且.如果，求证A是无限集.10.设S为集合{1，2，3，……，50}的具有下列性质的子集，S中任意两个不同元素之和不被7整除，求

6、S

7、的最大值（

8、S

9、表示S中元素的个数）11.开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多

10、少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？12.计算不超过120的合数的个数13.已知集合，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任两个元素的差的绝对值大于1.集合或元素的配对问题有关集合中元素个数的问题，有时需要利用对应与映射的方法，将集合中的元素两两配对，从而解决问题.14.设集合，现对M的任一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，那么，所有这样的的算术平均值为.15.设集合，若X是的子集，把X中所有数之和称为X的“容量”（规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）

11、子集.求证：的奇子集与偶子集个数相等.三、能力测试1.设集合，则在下列关系中，成立的是BCD2．已知，且，设，则（A）M（B）N（C）P（D）3.集合，求当时，和同时成立？4．设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件:当x∈A时,15xA，则A中元素的个数最多是_______________.5．若非空集合,则能使AA∩B成立的a的取值范围是_______________.6．若为单元素集合，则实数的值为___________________.7．设，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为__

12、____________.8.设集合，集合，求证9.设集合10.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数是对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？11.设集合，集合A中的元素都是自然数且，并满足，有中的所有元素之和等于224，求集合A12.已知集合，对，将A中所有元素的和记为.若可将分为互不相交的两个子集A，B，且.求k的所有值.13集合为A的非空子

13、集族，并且当求n的最大值.课后练习答案1-4CCBA5．解：由于1995=15´133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数.由于这时己取出了15´9=135,…15´133=1995.故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=