2010.10.10基本初等函数讲义

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1、赵老师高中数学辅导基本初等函数指数函数指数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，可使许多问题获得简洁巧妙的解决．一、数形结合思想例1　若函数（，且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（　　）．（A）0＜a＜1且b＞0（B）a＞1且b＞0（C）0＜a＜1且b＜0（D）a＞1且b＜0解析：因为函数的图象经过第二、三、四象限，结合指数函数的图象特征可知，函数为减函数，即0＜a＜1，所以函数图象如图所示．又因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即，∴b＜0．故选（C）．点评：熟悉函数的图象特

2、征是数形结合的基础．二、分类与整合思想例2　设，，其中a＞0，a≠1．确定x为何值时，有（1）；（2）．解：（１）∵，∴，∴，∴．（２）∵，∴．当a＞1时，，解得．当0＜a＜1时，，解得．点评：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分情况进行讨论．三、转化思想例3　若正整数m满足，求m的值．（lg2≈0.301）解：将指数转化为对数，由，得，即．由，得．所以原不等式可转化为．将代入，得．故正整数m＝155．点评：有关指数、对数大小比较问题，常常需将问题转化，有时根据问题的需要将

3、指数式转化为对数式，有时需将对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的．四、整体思想例4　函数（a＞0，a≠1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则实数a的值为赵老师高中数学辅导（　B　）．（A）　　（B）2　　（C）　　（D）4练习：1．方程的解所在区间为（B）．（A）（0，1）（B）（１，3）（C）（3，4）（D）（4，＋∞）2．若函数（a＞0，且a≠1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（　B　）．（Ａ）　　

4、（Ｂ）　　（Ｃ）2　　（Ｄ）43．设且，若，，试比较P，Q的大小．提示：1．在同一坐标系中分别画出与的图象，数形结合求解．2．用整体思想求解．3．解：①当时，由在（－∞，+∞）上递减知，即，又当时，在（0，+∞）上递减，∴，即P＞Q．②同理，当a>1时，有，即，∴，即P>Q．综上可得P>Q．解题误区一、混淆指数幂与指数函数概念例1若，且，求的取值范围。错解∵，且，∴由指数函数的单调性得。辨析在有意义的情况下，指数的底数可以取全体实数，错解中用指数函数的底数大于零且不等于1限制指数的底数，显然是错误的．正解当时，，，

5、∴成立；当时，；当时，成立。∴的取值范围是或。赵老师高中数学辅导二、忽略指数函数底数的范围例2求函数的单调递增区间。错解：令设任意则即故在上为增函数。辨析：对于指数函数单调性的讨论，必须分底数大于1和底数大于0且小于1，两种情况来讨论。正解：令当时，对任意则得即．又易知在上为增函数同理，当时，同理函数在上是增函数。三、忽略新元的取值范围例3　求函数的值域．错解：令，则，故该函数的值域为［1，＋∞）．辨析：换元后未挖掘新元t的取值范围导致错解，同时也未根据a来分类讨论．正解：令，t∈（0，＋∞），则（t＞0），结合二

6、次函数的性质可知：当a≥0时，值域为（，＋∞）；当a＜0时，值域为［1，＋∞）对数函数1、复习：(1)、对数的概念，(2)、对数的性质，(3)、对数恒等式2、推导对数运算法则：赵老师高中数学辅导一、选择题：1．对数式中，实数a的取值范围是（D）A．B．(2,5)C．D．2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（C）A．x=a+3b－cB．C．D．x=a+b3－c33．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则（C）A．M∪N=RB．M=NC．MND．MN4．若函

7、数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（B）A．B．C．D．5．已知函数，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x)（D）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数6．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61)(B)A．10%B．16．4%C．16．8%D．20%7．如果

8、y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是（D）A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．aD．二、填空题：8．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为0.9．将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为.10．函数y=的单调递增区间是.三