2010年安通学校GCT数学内部讲义17

《2010年安通学校GCT数学内部讲义17》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四讲线性方程组一齐次线性方程组　　设元齐次线性方程组　,系数矩阵令，则线性方程组可写成矩阵方程的形式：若令，，，则齐次线性方程组又可以写成向量方程的形式：．１．齐次线性方程组有非零解的判定条件l设，齐次线性方程组有非零解只有零解.即系数矩阵列满秩．l设是阶方阵，齐次线性方程组有非零解．只有零解．l设，当时，齐次线性方程组必有非零解．２．齐次线性方程组的解的性质若，是齐次线性方程组的解，则和仍是的解．若是齐次线性方程组的解，则的任意常数倍仍是的解．３．齐次线性方程组的解的结构l的一个基础解系．其要点为：(1)都是的

2、解，(2)它们是线性无关的,(3)的任何一个解都可以由它们线性表出．因此基础解系不是惟一的．第5页，共5页l若元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则基础解系中含有个线性无关的解向量．若是齐次线性方程组的一个基础解系，　　则齐次线性方程组的通解（一般解）是　　其中是任意常数　　　　2.解元齐次线性方程组的基本方法,步骤：l对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化为行简化阶梯形；l假设有个非零行，则基础解系中有个解向量．　　选非主元所在列的变量为自由未知量；l将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量为一个基础解系．二

3、非齐次线性方程组设非齐次线性方程组记系数矩阵为,常数项向量为，则非齐次线性方程组可写作l方程组的增广矩阵　　记作．l对应的齐次线性方程组称为非齐次线性方程组的导出组．１．非齐次线性方程组有解的判定l非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩．即l若元非齐次线性方程组有解，即当时，方程组有惟一解；时，方程组有无穷多解．l当系数矩阵时，非齐次线性方程组有唯一解２．非齐次线性方程组解的性质l设是非齐次线性方程组的两个解，则是导出组的一个解．l非齐次线性方程组的任一解与导出组的解的和是非齐次线性方程组

4、第5页，共5页的解．１．非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解　+　导出组的基础解系的线性组合．即设非齐次线性方程组，若，是的一个特解，　　是导出组的基础解系，则的通解（一般解）是,其中是任意常数典型习题1.只有零解的充分必要条件是A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关　　　　　　　　（Ｂ）2.是对应的齐次方程组.则Ａ．若只有零解,则有唯一解.Ｂ．若有非零解,则有无穷多解.Ｃ．若有无穷多解,则有非零解.Ｄ．若无解

5、,则只有零解.　　　　　　　　　　　　　　　(C)　３.的行向量线性无关，则错误的是　　Ａ．只有零解.　　　　Ｂ．必有无穷多解.　　Ｃ．有惟一解.　　Ｄ．总有无穷多解．　　　　　　（Ｃ）４.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基础解系，则的通解是．　　．．　　．　（Ｂ）2.设是方程组的两个解.则该方程组的通解是().　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解,则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１．０）第5页，共5页7.设,,,则齐次线性方程组的基础

6、解系是(A)(B)(C)(D)　　　　（Ｃ）8.方程组,它的基础解系是().()9.设方程组（１）：　　，方程组（２）：　　，求方程组（１）和方程组（２）的公共解．.10.设,是的三个解向量,且则的通解是().()11.设为齐次方程组的一个基础解系,则A.B.C.D.(A)12.设是齐次方程组的一个基础解系,则的另一个基础解系是A.与等秩的向量组.B.C.D.(C)13.可逆的充分必要条件是A.有解.B.有非零解.C.时D.(C)第5页，共5页14.设且可逆，则方程组A.有唯一解．B.有无穷多解．C.无解D.不能确

7、定（C）15．若线性方程组有无穷多解，则A.1或4B.1或–4C.–1或4D.–1或–4（C）第5页，共5页