2000年至今的圆锥曲线方程练习题 - 副本.doc

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1、90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；（Ⅱ）（理）若

2、A1B1

3、＝

4、A2B2

5、，求l1、l2的方程.图8—10（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求

6、A2B2

7、的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.（1）求双曲线S的方程；（2）当k=1时

8、，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图8—10.图8—1192.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足

9、OQ

10、·

11、OP

12、＝

13、OR

14、2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，（Ⅰ

15、）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.94.（1995全国文，26）已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足

16、OQ

17、·

18、OP

19、=

20、OR

21、2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.1295.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.96.

22、（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.1290.（Ⅰ）依题设l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P（－，0）且与双曲线有两个交点，故方程①k1≠0有两个不同的解整理得（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0②若k12－1＝0，则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点与题设矛盾，故k12－1≠0即k12≠1所以方程②

23、的判别式Δ＝（2k12）2－4（k12－1）（2k12－1）＝4（3k12－1）又设l2的斜率为k2，l2过点P（－，0）且与双曲线有两个交点，故方程组③有两个不同的解整理得（k22－1）x2＋2k22x＋2k22－1＝0④同理有k22－1≠0，Δ＝4（3k22－1）因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1所以l1、l2与双曲线各有两个交点等价于整理得∴k1∈（－，－1）∪（－1，）∪（，1）∪（1，）（Ⅱ）（理）设A1（x1，y1）、B1（x2，y2）由方程②知．所以

24、A1B1

25、2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k12）（x1－

26、x2）2＝⑤同理，由方程④可得12

27、A2B2

28、2＝⑥由

29、A1B1

30、＝

31、A2B2

32、得

33、A1B1

34、2＝

35、A2B2

36、2，将⑤、⑥代入上式得解得k1＝±．取k1＝时，l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）；取k1＝－时，l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）．（Ⅱ）（文）双曲线y2－x2=1的顶点为（0，1）、（0，－1）.取A1（0，1）时，有：k1（0+）=1，∴k1=，从而k2=－=－.将k2=－代入④，得x2+4x+3=0⑦记直线l2与双曲线的两交点为A2（x1，y1）、B2（x2，y2）则

37、A2B2

38、2=（x1－x2）2+（y1－y

39、2）2=3（x1－x2）2=3［（x1+x2）2－4x1x2］由⑦，知x1+x2=－4，x1·x2=3，∴

40、A2B2

41、2=60即

42、A2B2

43、=2.当取A1（0，－1）时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知

44、A2B2

45、=2.所以l1过双曲线的一个顶点时，

46、A2B2

47、=2.评述：本题主要考查直线与双曲线的性质、解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.（Ⅰ）由直线与双曲线的位置关系利用判别式得出不等式组，而（Ⅱ）则使用设而不求方法求斜率，则简化运算.91.解：（1）由已知可得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，A′（0，）．双曲线S的方

48、程为＝112（2）设B（x，）是双曲线S到直线l：y＝x－的距离为的点，由点到直线距离公式有．解得x＝，y＝2，即B（，2）（3）当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以B在直线l的