(4-1)刚体运动学、转动惯量、定轴转动

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1、教材：5.1与5.3节（回忆角量系统）作业：练习4（只能做部分）一、刚体、刚体的运动二、定轴转动（回忆角量系统）三、刚体定轴转动时角动量的形式四、转动惯量（复杂的数学求解积分过程不做考试要求）刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动(Translation)、转动(rotation)刚体平动质点运动一、刚体、刚体的运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线转动：刚体中所有的点都绕同一

2、直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的一般运动绕过o轴的转动oABCoo轮子的平动ABCoABCoABABCCo加刚体的一般运动=质心的平动绕质心的转动+参考平面角位移角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴二、刚体的定轴转动(Fixed-axisrotation)角量系统角加速度加速转动方向一致减速转动方向相反线量速度加速度角量角速度角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一维

3、（类似质点的直线运动）定轴转动的特点刚体定轴转动（类似质点的直线运动只需一维坐标来描述）方向始终平行于转轴，可以用角速度ω的正负来表示具体的方向方向也始终平行于转轴，可以用ß的正负来表示ω是变大还是变小。Dw>0Dw<0>0<0（其中、ω、ß都为代数量，有正负）质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移匀速直线运动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变角速定轴转动定轴转动时，角量与线量的关系式注意飞轮30s内转过的角度例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经3

4、0s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）t=30s时，设.飞轮做匀减速运动时，t=0s（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转动平面转轴，角速度刚体上任一质点转轴与其转动平面交点绕圆周运动半径为对的角动量：即：三、定轴转动刚体的角动量在轴上确定正方向，角速度ω表示为代数量，则定义质点对z轴的角动量（即质点对参考点o的角动量在z轴上

5、的投影）为:刚体对z轴的总角动量为：转动平面对质量连续分布的刚体：刚体对z轴的总角动量为:（即质点对轴上某参考点o的角动量在z轴上的投影）令转动惯量J四、新概念：转动惯量(Momentofinertia)转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量转动平面只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量积分元选取：md刚体对轴的转动惯量

6、J与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关注意几种常见刚体的转动惯量注意：此处的m是挖掉后的刚体质量。公式是对的竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？对同轴的转动惯量具有可加减性。or1r2m1m2同轴圆柱r1r2m1m2空心圆盘z讨论1平行轴定理正交轴定理对平面刚体两个常用定理（证明略）讨论2式中JC为刚体对通过质心的轴的转动惯量,m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如上关系例、求长为L、

7、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标取线元dm=dx做微元改变坐标，结果不变r为xr为(L/2-x)r为x微元到转轴的距离r实际的表达式和积分范围必须要与所取的坐标符合例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:I是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm从圆环到圆盘（圆柱体），选择合适的微元，避免二重积分例、求质量为m、半径为R的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环为微元RrdrOR

8、O例2在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s时所以角量系统习题训练转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数例、