刚体定轴转动的角动量转动惯量

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1、§7.3刚体定轴转动的角动量·转动惯量§7.3.1刚体定轴转动对轴上一点的角动量§7.3.2刚体对一定转轴的转动惯量§7.3.3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理§7.3.4刚体的重心§7.3.5典型例子§7.3刚体定轴转动的角动量·转动惯量§7.3.1刚体定轴转动对轴上一点的角动量1.转轴为对称轴zm1m2Or1r2如图,对O点因m1=m2=m故总角动量2.转轴为非对称轴zm1m2O21如图,对O点同样有总角动量与转轴成角.刚体绕对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹

2、角.§7.3.2刚体对一定转轴的转动惯量质点系对点的角动量设刚体绕Oz轴转动，刚体角动量在z轴的投影刚体对z轴转动惯量刚体对z轴角动量转动惯量是转动惯性的量度.1.转动惯量二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒动画演示质量离散分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元转动惯量的计算方法：质量元质量连续分布刚体的转动惯量对质量线分布的刚体：：质量线密度对质量面分布的刚体：：质量面密度对质量体分布的刚体：：质量体密度⑴刚体的质量（或体积元的密度）；刚体的转动惯量与以下三个因素有关：注意⑵刚体质量的分布情况；（质量分布得离轴越远则转动惯量越大）⑶转轴的位置。[例1]求均质圆盘(m,

3、R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量.[解]xyzrdr盘由许多环组成2.几种典型形状刚体的转动惯量圆筒圆环I=mR2ωRmO´O圆柱ωR2R1细圆棒ωR圆球球壳ωR3.回转半径任何转动惯量均有I=mk2k称为回转半径质量相同的刚体，I，k(1)平行轴定理ABCdxmiiii对CA轴平行C轴（质心轴）对A由图故：——平行轴定理4.反映转动惯量性质的定理(2)垂直轴定理（正交轴定理）miixyzyixiO(3)可叠加原理若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加.只适应于无穷小厚度的薄板例题：P226

4、例2、例3O´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元例题一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒由平行轴定理§7.3.3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理一、刚体对定轴的角动量角动量定理微分形式角动量定理积分形式其中：称为冲量矩（或角冲量）。二、刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动I=常量刚体定轴转动的转动定理说明：其中是描述物体平动惯性的物理量，则就是描述刚体绕轴的转动惯性的物理量，是刚体绕轴转动惯性大小的量度。验证刚体定轴转动定理的演示实验动画演示例如图所示，质量均为m的两物体A、B.A放在倾角为的光滑斜面上，通过定滑

5、轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力和及物体的加速度(轮轴光滑).解：作受力分析图对于A，B，由牛顿定律得且由于绳不可伸长，所以解得：对定滑轮，由转动定律得又角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量.守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.三、刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论在冲击等问题中常量解：在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力.前者对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩.系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒.即例在工程上，两飞轮常用摩擦啮合

6、器使它们以相同的转速一起转动.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上.A轮的转动惯量为，B轮的转动惯量为，开始时A轮每分钟的转速为600转，B轮静止.C为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转速。在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能.把各量代入上式，得ω为两轮啮合后的共同角速度，于是§7.3.4刚体的重心重心——刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点.如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C轴合力矩为零.ABDWCCABDWxzCyO则重心坐标与质心坐标同，但概念不同.质心是质量中心，其运动服从质心运动定理

7、.重心是重力合力作用线通过的那一点.若取§7.3.5典型例子[例题2]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.图(a)（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的