点的坐标与向量的坐标(III)

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1、第二节点的坐标与向量的坐标一、空间直角坐标系二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示三、向量的模、方向角和投影一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的基本概念ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点O.坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C.点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下坐标面:坐标轴:八个卦限上点M(x,y,z)的特点:第I卦限上：第II卦限上：第III卦限上：第IV卦限上：第V、VI、VII、V

2、III卦限上的点依次把第I、II、III、IV卦限中z改为：2、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间上的两点,空间两点间距离公式解到y轴；到z轴；到原点.例1求点M(2,3,2)到x轴的距离.例求点M(x,y,z)到各坐标轴、各坐标面的距离.思考求点M(x,y,z)关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点.例求点M(x,y,z)到各坐标轴、各坐标面的距离.到x轴的距离：到y轴的距离：到z轴的距离：到xoy平面的距离：到yoz平面的距离：到zox平面的距离：思考求点M(x,y,z)关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点.x0zyM点的对称点

3、关于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)解可设P点坐标为(x,0,0),故所求点为(1,0,0)或(1,0,0).解得二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示在空间直角坐标系下,则设点M的坐标为M(ax,ay,az),任意向量可用向径OM表示.此式称为向量的标准分解式,称为向量沿三个坐标轴方向的分向量.1.向量的坐标表示坐标.(coordinates)坐标表示式.若点M的坐标为(x,y,z),则矢径：向

4、量的分解表达式说明：任何向量可以表示为的线性组合，组合系数就是该向量的坐标.2.向量线性运算的坐标的表示平行向量对应坐标成比例:解例1设M1(1,3,4),M2(2,1,3),求例例2已知两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)及实数1,在直线AB上求一点M,使解设M的坐标为(x,y,z),如图所示得即说明由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:三、向量的模、方向角和投影1.向量的模向量模长的坐标表示式例1设求以向量的平行四边形的对角线的长度.为边故对角线的长度分别为对角线的长为解2.方向角与方向余弦与三坐标轴正向所成的夹角,,称为的方向角.方

5、向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦的坐标表达式:方向余弦通常用来表示向量的方向.非零向量的方向角,,和的模、方向余弦和方向角.计算向量例1已知两点解解注意：与已知向量平行的单位向量有两个,一个与同向,一个反向．或方向余弦的性质特殊地：与同向的单位向量当已知的模与方向角时,由可求出其坐标.例5依次为求点A的坐标.设点A位于第一卦限,向径OA与x、y轴的夹角解解设点P2的坐标为(x,y,z),故点P2的坐标为例5依次为求点A的坐标.设点A位于第一卦限,向径OA与x、y轴的夹角解且点A在第一卦限,故点A的坐标为3.向量的投影1)空间一点在轴上的投影过点A作轴u的垂直平面,交点A

6、即为点A在轴u上的投影.2)向量在向量上的投影2)向量在向量上的投影在三个坐标轴上的分向量分别为：在三个坐标轴上的投影分别为：解∴在x轴上的投影为在y轴上的分向量为四、小结空间直角坐标系空间两点间距离公式(注意它与平面直角坐标系的区别)(坐标轴、坐标面、卦限)向量的坐标及向量线性运算的坐标表示法向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的投影