印数值-第2章补充内容：SVD

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1、第二章补充材料奇异值分解(SVD)矩阵的奇异值分解是计算矩阵的重要手段，在控制理论、优化问题、广义逆矩阵等方面有着重要应用。定义1设，的特征值为，称(4.1)为矩阵的奇异值。由知，的正奇异值的个数恰等于。定理1设的奇异值为则存在阶正交矩阵和阶正交矩阵，使(4.2)其中。Matlab:[U,S,V]=svd(A)SVD有着重要的应用。（1）SVD很好地刻画了矩阵的几何特征。定理2设的SVD由式给出，的列向量记为，的列向量记为，则（1）（2）（3）（2）利用SVD可方便地求矩阵的广义逆和最小二乘问题。定理3的最小范数最小二乘解（最小二乘解中2-范数最小的）为(4.3)这里(4.4)称为

2、的广义逆矩阵。Matlab:B=pinv(A)（3）SVD又可表明一个给定矩阵与秩低的矩阵之靠近程度。定理4（低秩逼近定理）设的SVD由式给出，如果，记(4.5)则(4.6)低秩逼近定理可用于图像压缩。如果矩阵表示一张图像，取的前个较大的奇异值构造则就是的一个很好的逼近。从而起到图像压缩的作用。数值实验（小丑的图像压缩）loadclown.matfigure(1)colormap('gray')image(X)[U,S,V]=svd(X);k=20;A=U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)';figure(2)colormap('gray')image(A)（4

3、）利用SVD可计算矩阵的数值秩。矩阵的秩在理论上是有精确定义的，但在有舍入误差的计算中就变得模糊不清了。数值地确定矩阵的秩是一个重要而又困难的问题。对于一个给定的矩阵，完全可以认为它是某个原始矩阵经过误差不超过的扰动后的结果。于是，在所有可能的候选矩阵中，确定一个具有最小秩的，它便成为的一个最坏亏损的原始矩阵。定义2称为的δ数值秩。定理5矩阵的数值秩等于的充分必要条件是(4.7)Matlab:r=rank(A)或r=rank(A,delta)（见matlab帮助）