测量误差分析与误差处理

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1、5-2中误差传播定律本单元阐述了观测值中误差与其函数中误差之间的关系，称作误差传播定律。它是求观测值函数中误差的理论根据，希望大家认真掌握。本单元主要内容：观测值函数中误差推导。知识考核:倍数函数，和、差函数，线性函数及一般函数中误差公式；算术平均值中误差公式。第一单元介绍的是根据一组等精度观测值的真误差，求观测值的中误差问题。但是在实际测量工作中，有些未知量往往是由观测值，通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量时，高差h=a（后视读数）-b（前视读数），h是a、b的函数。又如坐标增量△x=S·cosα，△y=S·

2、sinα，△x及△y是距离S和坐标方位角的函数。由于直接观测值有误差，故它的函数也必然会有误差。研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系又称误差传播定律。（一）倍数函数的中误差设有函数Z=KX用△X与△Z分别表示X和Z的真误差，则Z+△Z=K（X+△X）即△Z=K△X这就是函数真误差与观测值真误差的关系式设对X进行了n次观测，则有△Z1=K△X1△Z2=K△X2……△ZN=K△XN得△2Z1=K2△2X1△2Z2=K2△2X2……△2ZN=K2△2XN[△2Z]=K2[

3、△2X]按中误差定义，上式可表示为m2Z=K2m2X或mZ=KmX可见，倍数函数的中误差等于倍数（常数）与观测值中误差的乘积。用比例尺在1：1000的图上量得长度L=168mm，并已知其中误差mi=±0.2mm，求相应地面上的水平距离S及中误差mS。解：相应地面上的水平距离S=1000L=168m中误差mS=1000mi=±0.2m最后写成S=168±0.2m（二）和、差函数的中误差设有函数Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=X±YX、Y为独立观测值，所谓“独立”，是指观测值之间相互无影响，即任何一个观测值产生的误差，都不影响其他

4、观测值误差的大小。一般来说，直接观测的值就是独立观测值。令函数Z及X、Y的真误差分别为△Z、△X、△Y。显然Z+△Z=（X±△X）±（Y+△Y）和差函数的中误差△Z=△X±△Y观测n次，则有△Z1=△X1±△Y1△Z2=△X2±△Y2……△Zn=△Xn±△Yn将上列各式两边平方并求和，得[△2Z]=[△2X]+[△2Y]±2[△X△Y]例题例题习题1：如图所示的测站点O，观测了α、β、γ三个角度，已知它们的中误差分别为±12、±24、±24秒，求由此而得圆周角不符值ε的中误差。如果用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为12

5、秒，请问计算角的中误差是多少？（三）线性函数中误差设有函数Z=K1x1±K2x2±…±Knxn式中K1、K2、…、Kn为常数；x1、x2…、xn均为独立观测值，它们的中误差分别为m1、m2、…、mn函数Z与各观测值x1、x2、…、xn的真误差关系式为根据中误差的定义公式可得：例题：例4：对某一直线作等精度观测。往测距离为L1，返测距离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误差。解；最后结果L为设L的中误差为mL，有即（四）一般函数的中误差设有一般函数Z=f（X1，X2，…，Xn）；式中，X1，X2，…，Xn为具有中

6、误差，mX1，mX2，…，mXn的独立观测值。各观测值的真误差分别为△X1、△X2、…、△Xn，其函数Z也将产生真误差Δz.。)取全微分,得则有式中，，…，为函数对各个变量所取得的偏导数则函数的中误差为：或者：，，…，例题设沿倾斜地面丈量A、B两点，得倾斜距离L=29.992m，测得A、B两点间高差h=2.05m，若测量L、h的中误差分别为±0.003m和±0.05m，求水平距离S及其中误差ms。解：水平距离为水平距离的中误差为式中则有：（五）若干独立误差综合影响的中误差一个观测值的中误差，往往受许多独立误差的综合影响。例如

7、，经纬仪观测一个方向时，就受目标偏心、仪器偏心（仪器未真正对中）、照准、读数等误差的综合影响。这些独立误差都属于偶然误差。可以认为各独立真误差△1、△2、…、△n的代数和就是综合影响的真误差△F，△F=△1+△2+…+△n例题：已知使用某一经纬仪观测一个方向的读数中误差为±10〞，照准中误差为±3〞，对中中误差为±5〞，目标偏心中误差为±15〞，求这些独立中误差对观测一个方向的综合影响mF。解：