泰勒级数和罗朗级数

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1、1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数一.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）二.展开式的唯一性定理解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一

2、？---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，利用一些已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分析运算等函数展开成Taylor级数的方法：三.简单初等函数的泰勒展开式例1解上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解(2)由幂级数逐项求导性质得：§4.4罗朗(Laurent)级数1.罗朗级数2.函数展开成罗朗级数3.如何展开成罗朗级数本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算

3、留数的基础。§4罗朗级数一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:罗朗级数只有非负幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.非负幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：这是z的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,

4、就得到：则当

5、z-z0

6、>R1时,即

7、z

8、

9、z-z0

10、

11、z-z0

12、

13、z-z0

14、

15、正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的罗朗级数.二.函数展开成罗朗级数（2）罗朗级数是唯一的,利用已知的函数的幂级数来展开的间接法。(1)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用罗朗（Laurent）级数来展开。例3把函数[解]因有例4xyo12xyo12xyo12解:没有奇点例5[解](1)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒级数，在环域内需要把f(z)展成罗朗级数。(2)Laurent级数与Taylor级数的不同点

16、：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。作业习题八、1、（选作两个）2、3、