§3 泰勒级数 罗朗级数

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1、幂级数的基本性质小结1．对于幂级数，必然存在一个以展开中心为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外级数发散。这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。（在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。）收敛半径（比值判别法和根值判别法）：，2.幂级数在其收敛圆内一致收敛：幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆（略小于收敛圆的半径）内一致收敛。3.幂级数的和函数在其收敛圆内是一解析函数：幂级数的和函数在其收敛圆内解析。因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径。幂级数的系数与其和函数的n阶导数之间有如下关

2、系：46§3.复变函数的泰勒展开【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P50-55】(一)泰勒定理：设函数在以为圆心、为半径的圆内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)能展开成以为中心的幂级数：，，且展开式为唯一的。证明：设为圆内的任意一点，作一个圆周（如图）：，使点含于内,并且在圆周上解析。由柯西积分公式得：【注意：】46而（推广的柯西积分公式），其中。唯一性：设另有，两边对求阶导数：。(二)将解析函数展开成泰勒级数的方法1．直接计算展开系数：2．泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用来求。例如利用初等函数的泰

3、勒级数展开（特别是，，三角函数等的泰勒级数展开）：46例1：求在的泰勒展式。解：在复平面上解析，在时的泰勒系数为，于是有。例2：求在的泰勒展开式。解：，【】。例3：求在的泰勒展开式。解：令，则。例4：求在的泰勒展开式。解：，由于在内一致收敛于，，。46例5：求在的泰勒展开式。解：，当时，，在时，级数收敛且，所以如果规定时，，就有。46§4.罗朗级数【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P55-61】泰勒定理告诉我们:如果函数在圆内解析，在圆内必可展开成幂级数。如果函数在内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？罗朗定理告诉我们，如果

4、函数在内有奇点，一般不能展开成幂级数的形式，但有可能能够展开成罗朗级数的形式。（一）罗朗级数的定义和收敛区域1．罗朗级数：在前面讲的幂级数中，幂次均为正，若一个级数既包括正幂项也包含负幂项，即有形式：，则称为其为以为中心的罗朗级数。幂级数在解析，而对于罗朗级数，是它的奇点。2．罗朗级数的收敛区域将罗朗级数分成两部分：正幂部分：，罗朗级数的正则或解析部分，负幂部分：，称为罗朗级数的主要部分。对于正幂部分，设它的收敛圆为，在内，正幂部分是一个解析函数。46对于负幂部分，可作变换则负幂部分变为的幂级数：。设它的收敛圆为。当时，负幂部分是收敛的，且为区

5、域内的解析函数。当时，由于，不能同时成立，故正幂部分与负幂部分不存在公共收敛区域，从而罗朗级数不存在收敛区域，罗朗级数发散。当时，正幂部分与负幂部分有公共收敛区域：圆环.在此圆环内，罗朗级数是收敛的,其和为该圆环内的一解析函数。根据上面的讨论,我们得到一个重要的结论：罗朗级数如果收敛的话，其收敛区域必为以展开中心为圆心的一个圆环型区域：.圆环的外半径由级数的正幂部分决定，内半径由级数的负幂部分决定：,46例.求罗朗级数的收敛区域。解：正幂部分的收敛区域为以为圆心的圆，其半径为：。负幂部分的收敛区域为以为圆心的圆外部区域，圆心的半径为：.正幂部分

6、与负幂部分的公共收敛区域为圆环：.46（二）圆环内的解析函数的罗朗级数展开罗朗定理：在圆环内解析的函数必可展开成以为中心的罗朗级数：，其中称为罗朗系数，，，是圆环内任一以为圆心的圆周，。（定理的证明从略，不讲）zCR2CR1R1R2z0C几点说明：（1）在罗朗展开式中，；（2）罗朗级数中，展开中心可能是的奇点，也可能不是奇点；（3）泰勒级数展开可以看作是罗朗级数展开的特例。如果函数在大圆的整个内部都是解析的，根据柯西定理，罗朗级数的负幂部分的展开系数必为零（即，罗朗级数回到泰勒级数。（4）如果函数只是在圆环内解析，在小圆内存在奇点，则函数只能作

7、罗朗级数展开。46罗朗展开的唯一性：如果函数能够在圆环内展开成罗朗级数，则展开式是唯一的。罗朗展开的唯一性使我们不一定要用积分来求系数。常用的罗朗展开方法仍是利用已知级数，不过要注意展开的形式和收敛区域。罗朗定理的证明（略，不讲）：设为内任意取定的一点，总可以找到含于内的两个圆周()和（），使含于圆环内。因在闭圆环上解析，由柯西积分公式，得：对于第一个积分，由泰勒展开定理的证明可知，[利用]，，对于第二个积分，我们考虑:，当时，，上式可展开成一致收敛的级数，46，两边沿逐项积分，并乘以，得，。由复连通区域的柯西定理，可得：，，为圆环内任一以为圆

8、心的圆周。，。唯一性：设在圆环内又可展成下式：则它在圆环内一致收敛，从而在圆周：上一致收敛，乘以上的有界函数仍然一致收敛，可以逐项积分：，46而（前面