函数的奇偶性与周期性考]

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1、函数的性质之奇偶性与周期性基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升J基础知识自主学习1．函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，图像关于________对称的函数叫作奇函数。在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)的绝对值相等，符号______，即_________________；反之，满足_________________的函数y＝f(x)一定是奇函数。(2)偶函数：一般地，图像关于_______对称的函数叫作偶函数。在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值________，即____________；反之，满足_

2、___________的函数y＝f(x)一定是偶函数。相反f(－x)＝－f(x)f(－x)＝－f(x)y轴相等f(－x)＝f(x)f(－x)＝f(x)原点2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个___________就叫做函数f(x)的最小正周期。f(x＋T)＝f(x)最小的正数最

3、小正数2a2a2a[判一判](1)函数y＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数。()解析错误。定义域不关于坐标原点对称。(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0。()解析错误。定义域内有x＝0时，f(0)＝0。(3)函数f(x)＝sinx，x∈[0,2π]为周期函数。()解析错误。函数f(x)＝sinx在R上为周期函数。×××(4)偶函数的图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点。()(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数。()解析正确。(6)若T为函数f(x)的一

4、个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期。()解析正确。×√√解析令y＝f(x)，选项A，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；选项B，f(－x)＝

5、sin(－x)

6、＝

7、sinx

8、＝f(x)，为偶函数；选项C，f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，为偶函数；选项D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数。答案D3．(2016·石家庄市高三年级调研检测试卷)已知偶函数y＝f(x)满足f(x＋5)＝f(x－5)，且0≤x≤5时，f(x)＝x2－4x，则f(

9、2016)＝()A．－1B．0C．1D．12解析∵f(x＋5)＝f(x－5)，∴f(x)的周期为10，∴f(2016)＝f(6)＝f(－4)，又∵f(x)为偶函数，∴f(－4)＝f(4)＝42－4×4＝0.答案B4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是_____________________。解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。(－1,0)∪(1，＋∞)5．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当

10、x≥0时，f(x)＝2x＋1。若f(a)＝3，则实数a的值为___________。解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋1，所以当x<0时，f(x)＝2－x＋1。若a≥0，f(a)＝2a＋1＝3，解得a＝1；若a<0，f(a)＝2－a＋1＝3，解得a＝－1，故实数a的值为1或－1。1或－1R热点命题深度剖析【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．

11、f(x)

12、g(x)是奇函数C．f(x)

13、

14、g(x)

15、是奇函数D．

16、f(x)g(x)

17、是奇函数考点一函数奇偶性的判断【解析】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)

18、g(x)

19、为奇函数，

20、f(x)

21、g(x)为偶函数，

22、f(x)g(x)

23、为偶函数，故选C。【答案】C【解】显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称。当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)。综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－

24、f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数。【规律方法】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断。(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数。分段函数奇偶性的判断