高考物理解题专题指导 方法专题七“等时圆”模型

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1、建构物理模型，巧手探析题目方法专题七“等时圆”模型太原市第十二中学姚维明·OABCD1图2αα·OABCD图11模型建构：【模型】如图1所示，DB是圆周的直径，DA、DC是圆周上的两条任意弦，从圆环上D点开始同时沿着三条光滑弦由静止释放三个圆环，则它们下滑的时间相等。【特点】斜面光滑，下滑的加速度a=gsinθ；同一圆周上同一点出发的各条光滑弦上，物体由静止下滑运用的时间相等。〖简析〗如图2所示，可以把DA看作斜面，倾斜角为α，下滑加速度为a=gsinα斜面长由运动学公式得到与α无关。可见沿任意光滑弦从静止下滑的时间相等。模型案例：【案例1】

2、如图2把图1的圆周逆时针旋转90°，把三个小圆环从三条光滑弦上由静止下滑的时间还相等吗？DABC·O图31α〖解析〗把AD看作斜面如图3，设倾斜角为α，直径为2R，则下滑加速度为a=gsinα斜面长为由运动学的位移公式A图4解得：与α无关。所以时间相等。【案例2】如图3，一质点自倾角为α的斜面上方的P点，沿一光滑斜槽PA由静止开始滑下，要使质点从P点运动到斜面上所用时间最少，那么斜槽与竖直方向的夹角β应为多大？图5PAO·O/·MNαααβ解析：由等时圆模型如图2的性质知道，同一圆周上物体沿任意光滑弦由静止开始运动的时间为半径越大，时间越长由

3、图2得到启示我们找一个圆心在P点正下方，过P和斜面上的点，但半经最小的圆，而满足此条件的圆必与斜面相切，如图5粗实线所示由几何知识很快得到3建构物理模型，巧手探析题目另外，我们也知道自P沿PM到M、沿PN到N用时相等，为，（如图5细实线所示，R/为细实线圆的半径），很明显比从P到A用时长。模型体验：图6A【体验1】如图6，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定〖解析〗由“等时圆”可知，同一时刻这些

4、小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。A·O1·ORB图7【体验2】如图7所示，在竖直平面内有一半径为R的圆环，同一平面内有一点A，由点A到圆环上任一点M连接光滑直线，在重力作用下，一金属小环m从A点由静止出发滑到M，问M点位于何处时，m滑动所用的时间最短？〖解析〗我们也只需找到圆心在A点正下方，过A和已知圆上的点，且半径最小的圆。此圆与已知圆外切，如图7圆O1所示，从而确定了B点位置。ABCDM图8【体验3】如图8，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是

5、圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点〖解析〗设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta==2，tb>ta；c做自由落体运动tc=；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，td==，所以C正确。【体验4】如图9所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，

6、使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。ABPHhO图9图10ABPHhOO1〖解析〗由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图10所示，此时等时圆的半径为：3建构物理模型，巧手探析题目所以PAθB图12CO【体验5】如图11，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？AθB图1

7、1P〖解析〗借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心，如图12。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。【点评】建构“等时圆”模型，求解类似光滑斜面上时间的最值，问题就会得到简化。建构如图2所示的物理模型是解决时间问题的关键。3