正数与负数——整数的乘除法与四则运算

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1、整数的乘除法与四则运算（含习题）1.整数的乘法【例】连续多日不雨，水库的水位持续下降，若每天下降2米，连续4天下来共下降了几米？因为下降2米，以（－2）米表示，连续4天的结果可以表示为（－2）＋（－2）＋（－2）＋（－2）＝（－2）×4＝4×（－2）（乘法交换律）＝－8。所以连续4天下来共下降了8米。再举一个例子：【例】某地层每年下陷5厘米，3年前比现在高多少厘米？下陷5厘米以（－5）厘米表示，以今年为基准，3年前以（－3）表示，那么（－5）×（－3）＝3×5＝15（厘米）。所以3年前比现在高15厘米？从上面的两个例子，我们知道：“负数×正数＝负数”，且“负数×负数＝正数”，利用乘法交

2、换律，可知“正数×负数＝负数”，加上小学学过的“正数×正数＝正数”。因此本节主要就是要讨论以下四种乘法运算规则：正数×正数＝正数正数×负数＝负数负数×正数＝负数负数×负数＝正数2.乘法的一些性质(1)甲×乙＝乙×甲【乘法交换律】(2)甲×乙×丙＝（甲×乙）×丙＝甲×（乙×丙）【乘法结合率】(3)任何数与0的乘积都是0。(4)任何数与1的乘积都不会改变，仍是本身。(5)任何数与（－1）的乘积会变为其相反数。(6)甲×（乙＋丙）＝甲×乙＋甲×丙【乘法对加法分配律】-1-(7)甲×（乙－丙）＝甲×乙－甲×丙【乘法对减法分配律】3.连乘与次方4某数“连乘”可改记为某数的“次方”表示之。例如：4

3、个5连乘，55555（读作5的4次方）。m因此，如果m为正整数，则m个a连乘，可记为aaaa......aa。m個a23一般而言，a我们读作“a的2次方”或“a的平方”；a我们读作“a的3m次方”或“a的立方”；a我们读作“a的m次方”。m对于a而言，其中的a称为底数，m称为指数。如果底数是负数则必须括号4起来。例如－2的4次方，必须写为(2)表示之。【动动脑】3344(1)请问(2)，2是否相等？(2)(2)，2是否相等？(3)负数的奇数次方为数（填正或负）(4)负数的偶数次方为数（填正或负）4.指数律若m、n为正整数，且a、b是不为0的整数，则：mnm

4、n(1)aaammnmnamn(2)aaa，即anannn(3)ab(ab)nnnnaan(4)ab(ab)，即()nbbmnmn(5)(a)a※另外，我们规定：任何不是0的数的0次方为1。00也就是说，若a0，则a＝1。但是，0无意义。5.指数律比较大小(1)a、b、c均为正数，且n为正整数：nnnabc0abc0。(2)a为正数，且m、n、p均为正整数：-2-mnpmnp0aaa0。6.整数的除法如同正负数的乘法运算，我们将讨论以下四种除法运算规则：正数÷正数＝正数正数÷负数＝负数负数÷正数＝负数负数÷负数＝正数2

5、在正数的除法中，23，因为无法整除，所以我们直接写为。相同的道理，322如果(2)3，我们可以写为；如果2(3)，我们可以写为；如果332(2)(3)，我们可以写为。3也就是说，不管正数或是负数，我们都可以运用以下的性质来简记除法：aabb1然而，aba，因此正负数除法的正负判断与乘法运算的正负判断规则b是一样的。所以正负数的除法运算，应先判断正负，再将两数相除。除法并没有交换律，也没有结合律，这点要注意。即甲÷乙乙÷甲甲÷乙÷丙＝（甲÷乙）÷丙＝甲÷（乙×丙）但不等于甲÷（乙÷丙）。不过，除法对于加法仍然有分配律，即（甲＋乙）÷丙＝甲÷丙＋乙÷丙但

6、是，甲甲甲甲÷（乙＋丙）＝（＋）乙＋丙乙丙7.正负整数的四则运算的原则(1)负数必须括号之。-3-(2)计算的优先级为：括号优先，次方次之，再来先乘、除，后加、减。【例1】计算下列各题：(1)7(3)(2)13(6)(3)(25)23(4)3117(5)(114)(25)(6)(213)54(7)(11)(7)25(15)(32)8(11)432(8)(7)(9)(2)(3)(10)(1421)(2819)【例2】计算下列各题：14(1)2(3)7(2)1113(3)()()25(4)(1)(2)

7、(3)(4)(5)(5)(7)(2)(5)(9)0234(6)273[213(2)](7)(7){[(1)]}0232(8)[123(41)3](11)(9)(1)2(3)(4)5【例3】计算下列各题：(1)11485194314351943(5)51943(2)147666147334(3)3836(4324)56783836(3836)2