《线性代数B》模拟试卷五参考答案

《《线性代数B》模拟试卷五参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《线性代数B》模拟试卷五参考答案一、填空题（每空3分，共18分）1．设，，则=1；解：2．设，，则向量与的夹角为；解：因为，，而，所以与正交，即与的夹角为（或者）3．设向量组，则的一个最大线性无关组为：；解：因为，所以，从而的一个最大线性无关组为：（或者，或者）4．已知3阶方阵有特征值-1，1，2，则=。解：因为，则，因为3阶方阵有特征值-1，1，2所以，，从而5．设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,且它的三个解向量满足，,则的通解为：；解：因为，所以的基础解系含向量的个数为：，又的三个解向量，所以是的一个非零解，从而可作为其基础解系。故的通

2、解为：（）6．设，则不是（是/不是）向量空间。解：因为对，，则，所以不是向量空间。二、选择题（每小题4分，共24分）1．行列式（D）（A）（B）（C）（D）解：，故选（D）2．设，则中的系数为C。(A)-1；(B)1；(C)-3；(D)3。解：将的各行各列化为只有一项含有，再将这些含的项移到主对角线上即可求出中的系数；，所以中的系数为，选（C）3．设均为阶可逆方阵，下列各式正确的是B。(A)；(B)；(C)；(D)。提示：利用矩阵的运算规律，选（B）4．设是维向量组，下列命题中正确的是（C）。（A）零向量不能由线性表示；（B）如不能由线性表示，则线

3、性无关；（C）如线性相关，不能由线性表示，则线性相关；（D）如中，任意个向量都线性无关，则线性无关。提示：利用向量组线性相关性的定义及判定，选（C）5．已知，为3阶非零矩阵，且，则下列叙述正确的是A。(A)时，的秩必为1；(B)时，的秩必为2；(C)时，的秩必为2；(D)时，的秩必为1。解：因为，所以，当时，；当时，；又为3阶非零矩阵，所以又，则，因此，时，；当时，，选（A）6．设非齐次线性方程组的未知量个数为，方程个数为，则在条件C成立时，一定有解。(A)矩阵的列向量组线性无关；(B)矩阵的列向量组线性相关；(C)矩阵的行向量组线性无关；(D)矩

4、阵的行向量组线性相关。提示：一定有解，又为型矩阵，所以当时，，此时。所以当矩阵的行向量组线性无关时，一定有解。选（C）三、计算行列式。（8分）解：注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；四、设，，且，求未知矩阵。（8分）解：因为，所以……………1分因为，，则与均可逆，所以……………3分因为所以，……………5分故……………8分注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。五、问取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并求出通解。（14分）解法一：原方程组的系数行列式为：（1）当，

5、即且时，原方程组有唯一解；（2）当，即或时，原方程组无解或有无穷多解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组无解。解法二：原方程组的增广矩阵为：（1）当且时，原方程组有唯一解；（2）当时，因为此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）（3）当时，因为此时，故当时原方程组无解。六、已知二次型，记（1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵，使得为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次

6、型，只需回答是或者不是。（14分）解：（1）该二次型的矩阵（2）因为令，得特征值为：，，；当时，因为，取；当时，因为，取；当时，因为，取；令，，，则为正交阵，且（3）该二次型在正交变换下的标准型为：（4）该二次型不是正定二次型。七、设，且与相似，求。（7分）解：因为与相似，所以与有相同的特征值和行列式，…………………………2分，即……………………………………5分解得或，…………………………7分注：此题还可以通过比较两个矩阵的特征多项式从而得到最终的结果，此时，只要计算过程及结果正确，即可得到满分。八、设、均为正交阵，且，证明。（7分）证明：因为、均

7、为正交阵，所以……………2分因为，所以从而注：其它证明方法，如正确给满分；如有错误，可酌情扣分。