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《不确定信息 教学课件 2灰色GM(1,1)模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二单元灰色预测模型GM（1,1）第二单元灰色预测模型GM(1,1)§1前言80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理论方面的贡献，获得国家科技进步一等奖。~什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。
2、所以，“灰”的内涵不是很清楚。举个例子讲，已知某量的真值在闭区间上，不可能落在之外，但具体落到区间的什么位置则是完全不知道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为，称其为区间灰数。显然，区间灰数是客观实际中存在的，除了知道真值在上，而不在之外，不再有任何已知信息，这就是灰量的最基本原型。由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM(1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM(1,1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：
3、原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM(1,1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM(1,1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM(1,1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM(1,1)模型预测。§2预备知识1.1线性回归设平面上有数据序列，大致分布在一条直线上。yx设回归直线为
4、，求的值使误差平方和最小。是关于的二元函数，由2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1）则得使取极小的必要条件为：(1)由(1)式求出，则为所求的回归直线，或数据序列的拟合直线。以上是最小二乘法的推导过程。下面给出一种记法，不是推导。求回归直线的本质是用实际观测数据、去表示，使得误差平方和取最小值，即从近似方程中形式上解出a与b。令，则两边左乘得注意到BTB是二阶方阵，且其行列式不为零，故BTB1可逆。在上式两边左乘得（2）这与按最小二乘法求得的结果（1）完全相同。因此，只要数据点列大致在一条直线上，即近似有2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1）可令，则有从而按最小二乘法可求出数据列的回归
5、直线。1.2多元线性回归设有数据序列，且设试确定的值，使误差平方和最小。方程组可表示为令，则(3)2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1）由此可解出的值，求出多元回归直线方程。1.3一阶常系数线性微分方程对于一阶常系数线性微分方程(4)其通解为：(5)令，则其中a，u为给定的常数。一阶常系数线性微分方程(4)的解是指数曲线，如下图所示：x(0)0txa<0a>0x(0)–u/a0txa<0a>010txa<0a>0图象图象图象§3GM(1，1)模型G表示Grey(灰)，M表示Model(模型)，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM(1,1)则是一个变量的一阶微分方程模型。给定
6、等时间间隔的数据列，且设数据列单调：表示t＝k时刻某量的观测值，不妨设，。将数据列记成：表示原始数据序列。比如：。对原始数据作一次累加生成，令2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1）得一次累加生成数序列为：在此，={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}给定的原始数据序列已经是单增序列，经一次累加生成的累加序列具有更强烈的单调性。我们知道指数序列是单调的，但是，单调序列却不一定是指数型的，不过强烈的单调序列可近似看做是指数的，即可用指数型曲线进行拟合。如果用指数曲线来拟合一次累加生成序列，那么，这条指数曲线一定是某个一阶线性常系数微分方程(6)的满足某个初始条件的一
7、条积分曲线：若令则（7）其中a，u是待确定的未知参数。当时，可用差商近似表示，又，所以于是，一阶线性常系数微分方程2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1）可近似化为：注意到函数(t)在区间[k,k+1]上取值，以中值近似时有：则微分方程近似转化为：，这是一个关于参数a与u的线性方程组。令，则由此求出。微分方程的解为具体到上面给定的数据有2–10第二单元灰色预测模型GM（1,1），所以，，。这样，
