极限的运算法则(II)

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1、8/31/20213:51PM§2.4极限的运算法则函数极限的四则运算法则8/31/20213:51PM【定理】在某一变化过程中，则证总有那么一个时刻，刻以后，也总有那么一个时刻，第2章极限与连续在那个时恒有在那个时刻以后，恒有中较晚的那个时刻以后，在两时刻两式同时成立，即若8/31/20213:51PM所以证毕。推论两个无穷小量的代数和仍为无穷第2章极限与连续小量。广到有限个，说明定理和推论中的“两个”都可以推但不能推广到无穷个。8/31/20213:51PM【定理】在某一变化过程中，则证利用变量极限与无穷小量的关系其中其中　　　　　均为无穷小量，第2章极限与连续若小量（为

2、什么？），则和仍为无穷证毕。所以8/31/20213:51PM推论1两个无穷小量的乘积仍为无穷推论2（　为常数）推论3若　是正整数，则说明定理和推论中的“两个”都可以推第2章极限与连续小量。广到有限个，但不能推广到无穷个。8/31/20213:51PM【定理】在某一变化过程中，则（证明略）说明在应用极限运算法则时，第2章极限与连续若个变量的极限必须存在。要求每一8/31/20213:51PM设　　为多项式，则多项式的极限例1计算解第2章极限与连续8/31/20213:51PM例2计算解因为所以有理分式的极限设　　　　　，且　　　　　　　　，则第2章极限与连续8/31/2021

3、3:51PM例3计算解因为　　　　　　，利用无穷小量与无穷大量之间的关系先求则设　　　　　，且则第2章极限与连续的运算法则。不能直接用极限8/31/20213:51PM解由于分子和分母的极限不存在，将分子和分母同除以未知数的最高次幂例4计算第2章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能8/31/20213:51PM例5计算解方法同例4。例6计算解方法同例4。第2章极限与连续8/31/20213:51PM当　　　时，有理分式的极限说明以后计算极限时可直接应用。第2章极限与连续8/31/20213:51PM例7计算解因为分子和分母的极限都为0，由极限的定义，约去极限为0的公因子第2

4、章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能消去　　的因子。时，　　，分解因式8/31/20213:51PM例8计算解因为分子和分母的极限都为０，将分子有理化将分子或分母有理化，再约去公因子第2章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能8/31/20213:51PM例9计算解因为两个分式的极限都不存在，先通分先通分，再约去公因子第2章极限与连续不能直接应用极限的运算法则。8/31/20213:51PM例10已知计算解即第2章极限与连续分段函数分点处的极限利用充要条件计算8/31/20213:51PM内容小结1.极限的运算法则2.利用运算法则求极限------几种特殊形式函数的极限第

5、2章极限与连续8/31/20213:51PM备用题1.若　　存在，　　不存在，是否存在，为什么？解不存在。若存在，由极限的运算法则知，思考本题条件改成　　和　　都不存在，第2章极限与连续问存在，矛盾。结论又如何？8/31/20213:51PM2.计算解所以思考下列做法是否正确，为什么？第2章极限与连续8/31/20213:51PM3.若　　　　　　　　求　　的值。解由于分式的极限存在，即将其代入已知极限中得第2章极限与连续为0，而分母的极限则分子的极限必为0。8/31/20213:51PM4.计算解这是无穷个无穷小量的和，第2章极限与连续运算法则。不能用8/31/20213:

6、51PM5.设　　　，（1979）解第2章极限与连续求8/31/20213:51PM6.设函数　　　　　　　　　，（1999）解第2章极限与连续计算8/31/20213:51PM7.设　　是多项式，求解利用第一个极限，代人第二个极限，分析得到故第2章极限与连续且令得