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1、第22卷第3期湖南工业大学学报Vol.22No.32008年5月JournalofHunanUniversityofTechnologyMay2008数学期望的计算方法与技巧肖文华（娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底417000）摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了数学期望的几种计算方法。关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法中图分类号：O211；G642文献标识码：A文章编号：1673-9833(2008)03-0098-03CalculatingMethodsandTechniquesforMathematical
2、ExpectationXiaoWenhua（DepartmentofElectronicsandInformationEngineering，LoudiVocationalTechnicalCollege，LoudiHunan417000，China）Abstract：Somecalculatingmethodsformathematicalexpectationarediscussedbymakinguseofthedefinition,natureandformulaofmathematicalexpectation,thesymmetryofrandomvariabledis
3、tribution，generatingfunctionandcharacteristicfunction.Keywords：mathematicalexpectation；definition；nature；formula；differentialmethod数学期望是概率论的重要内容之一，由于随机变，量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此，探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义。因此，[1]1直接利用定义求解从而。用定义直接求数学期望是求期望最基本的方法，[2]2利用数学期望的性质求解在求数学期望时，常会用到一些特殊的
4、无穷级数的求直接求一个随机变量的数学期望比较因难时，将和公式，如等，利用这该随机变量分成若干个比较容易求出数学期望的随机些公式及它们的各种变形，往往会使计算变得简单。变量之和，然后利用数学期望的性质来解决原来那个例1设x服从参数为p的几何分布，求E(x)。随机变量的数学期望的求解问题，常用的公式为解。。特别是常把复杂的随机变量分为了求级数，可作如下考虑：解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设。由于，易得，若，且x，x，⋯，x相互独立，利用和函数的可微性对此级数逐项求导，可得12n收稿日期：2008-03-27作者简介：肖文华（1968-），女，湖南娄底人，娄底职业技术学院讲师
5、，主要从事高等数学，概率论与数学统计的教学和研究.第3期肖文华 数学期望的计算方法与技巧99则。例2有一类有奖销售，每1袋封闭包装的食品中放1张赠券，n张不同赠券为1套，收集齐1套可获重奖。试求为集齐N张赠券所需购买的食品袋数X的数[4]4利用分布的对称性求解学期望。解以Y记从收集到第j-1张之后到收集到第j张j当分布律或分布密度函数具有对称性时，随机变赠券所需购买的食品袋数，显然，对一切j=1,2,⋯,N,Yj量取值的集中位置就是对称中心。尤其当随机变量服从均匀分布时，其取值的对称中心非常容易得到，由服从的几何分布，即此得到数学期望。，k=1,2,⋯,N。例4若X，X，⋯，X为正
6、的独立随机变量，服12n从而。从相同分布，试证明。因此，证明由对称性知同分布，故特别地，为集齐水浒108将的画卡，平均需购108×1n108=505.67袋食品。点评利用变量分解技巧，可大大降低题目的难度，很容易得到结论。[3]3利用“佚名统计学家公式”求解设（X,Y）是连续型随机变量，其概率密度为而，p(x,y)，z=g(x,y)为分段连续函数，若积分绝对收敛，则随机变量故，i=1,2,⋯,n。Z=g（X,Y）的数学期望为：因此，由数学期望的可加性知。特殊地：。点评利用对称性与数学期望的可加性使本题证明简洁。这些公式姑且称为“佚名统计学家公式”。[5]例3设随机变量（X,Y）服从
7、二元正态分布，其5利用条件期望公式求解密度函数为，－∞＜x，y＜+∞。利用条件期望公式令，Z的分布被称为瑞利分布，求Z或，可得数学期望。的数学期望。例5求n次贝努里试验中，事件A发生的次数Sn解利用佚名统计学家公式，可得的数学期望。其中事件A在每次贝努里试验中发生的概率为p。解令则。100湖南工业大学 学 报2008年以第一次试验的结果为条件，由条件期望公式得：例8设随机变量ξ服从几何分布g(k,p)，求E(ξ)。k-1解因为p(ξ=k)=p(1-p)(0
