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1、数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学 理学院数学与信息科学系,湖北 武汉 430070) 摘 要 本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法:利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。关键词 数学期望 全期望公式 特征函数中图分类号 G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征,随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的,因此数学期望的计算问题显得非常重要。求随机变量的数学期望从模型本身来讲,无非是计算EX=Σ∞i=1xiP(X=x
2、i)或EX=∫+∞-∞xp(x)dx,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。下面结合具体场合,介绍一些简化计算数学期望的不同方法。 一、利用一些特殊的求和与积分公式(一)X是离散型随机变量时,EX=Σ∞i=1xiP(X=xi)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k=0xkk!=ex、Σ∞k=0xk=11-x(
3、x
4、<1)等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。例 设X服从参数为P的几何分布,求EX,EX2解:EX=Σ∞i=1iP(x=i)=Σ∞i=1iP(1-p)i-1=PΣ∞i=1i(1-p)i-1为了求
5、级数Σ∞i=1i(1-p)i-1,可作如下考虑:由于Σ∞k=0xk=11-x(
6、x
7、<1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k=0xk)=Σ∞k=0ddx(xk)=Σ∞k=1kxk-1,因此Σ∞k=1kxk-1=ddx(11-x)=1(1-x)2从而EX=PΣ∞i=1i(1-p)i-1=P·1[1-(1-P)]2=1P—41—高等理科教育 数学期望的计算方法探讨X收稿日期 2004—11—16资助项目 华中农业大学启动项目(项目编号:52204-03046)资助1作者简介 覃光莲(1969-)女,新疆玛纳斯人
8、,副教授,主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k=2k(k-1)xk-2=ddx(1(1-x)2)=2(1-x)3,因此有:EX2=Σ∞i=1i2P(X=i)=Σ∞i=1i2P(1-p)i-1=P(1-P)Σ∞i=2i(i-1)(1-p)i-2+PΣ∞i=1i(1-p)i-1=P(1-P)32P3+P31P2=2-PP2(二)X是连续型随机变量,X的分布密度函数为p(x),EX=∫+∞-∞xp(x)dx在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+∞-∞e-x22dx=2π、Γ函数Γ(n)=∫-∞0xn-1e-xdx=(n-1)!(其中nE1)等。很多学生对积分
9、∫+∞-∞e-x22dx=2π很陌生,但如果将它变形为:∫+∞-∞12πe-x22dx=1,则会恍然大悟:“这不正是标准正态分布的分布密度p(x)=12πe-x22dx在(-∞,+∞)上的积分吗?当然值为1了!”。因此,在讲标准正态分布的分布密度时引入该特殊积分,会起到很好的效果,既能起到复习概率分布密度p(x)性质(∫+∞-∞p(x)dx=1)的作用,又能利用该性质间接得到的结果解决相关的积分运算,从而加深记忆。而我们知道χ2分布、t分布、F分布的概率分布密度函数都用到Γ函数,因此了解和记忆Γ函数的一些基本性质是很有必要的,在讲解数学期望时适时复习一下可谓是一举两得。例 设X的分布密度函数为
10、p(x)=xa2e-x22a2 x>0,求EX0 xF0解:EX=∫+∞0x3xa2e-x22a2dx=令y=xaa∫+∞0y2e-y22dy=a∫+∞0(-y)de-y22=a[(-y)e-y22
11、+∞0+∫+∞0e-y22dy]=2π2a 二、利用数学期望定义的不同形式(一)若取非负整数值的随机变量X的数学期望存在,则EX=Σ∞k=1P(XEk)有时对取非负整数值的随机变量X我们很容易得到P(XEk),此时用该定义来计算数学期望就很简单。例 掷n颗均匀的骰子,求掷得最大点数X的数学期望分析:若直接用定义,则需要求出P(X=k),直接计算不易得出,但易知:P(XEk)=1-(k-
12、1)n6n(k=1,2,⋯,6),因此用EX=Σ∞k=1P(XEk)计算EX会很方便。解得:EX=Σ6k=1P(XEk)=6-Σ6k=1(k-1)n6n(二)若随机变量X的分布函数为F(x),则EX=∫+∞0[1-F(x)]dx-∫0-∞F(x)dx当分布函数F(x)为以x=0为分段点进行定义的分段函数时,用该公式计算数学期望尤其简便。例 设X服从参数为λ的指数分布,求EX解:X的分布函数为F(x
