误差理论及数理统计

《误差理论及数理统计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.1理论误差2.1.1随机误差及其正态分布在重复测量条件下，对同一被测物理量进行多次测量，若每一次的测量中无粗大误差和系统误差，则在测量结果中只有随机误差，这些随机误差是由很多暂时未能掌握或无法掌握的微小因素所引起的，其主要有下列几个方面：（1）测量设备方面的因素，如零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零部件表面油膜不均匀、有摩擦等。（2）环境方面的因素，如温度的微小波动、温度与气压的微量变化、光照强度的变化、灰尘以及电磁场的变化等。（3）人员方面的因素，如瞄准、读数的不稳定、情绪的波动等。这些误差表面上看来是毫无规律的，但从整体上观察是服从统计规律的，这种统计规律

2、往往可以通过试验的方法得到。第2章误差理论及数理统计2.6方差在第1章中给出了一个实际测量结果的例子，以误差作为横坐标，以频率数f作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图2.1所示。由图2.1可以看出，误差集中在零值附近，若进一步增加试验的次数，区间宽度进一步缩小，则图2.1可以变成一条光滑曲线，如图2.2所示。（1）高斯误差定律正态分布的分布密度函数为：（2-1）（2-2）F（x）的图形关于中心轴对称，由此可以得出：（2-3）图2.3表示中不同σ的正态密度曲线，图形是关于的x=μ轴对称，σ的大小影响图形的形状，σ大图形胖而矮，σ小图形瘦而高。一般的正态分布可

3、以通过适当变换化为标准正态分布。（2-4）其值见附表1。分布图见图2.3-119世纪德国的科学家高斯研究大量的测量数据时发现，随机误差分布符合正态分布。因此，在误差理论中将正态分布又称为高斯分布，图2.3中的曲线称为高斯曲线，其分布密度函数及概率分布函数分别表示为：（2-5）（2-6）图2.3-1标准正态分布曲线（2）高斯分布的概率计算I.查表法图例说明利用Excel计算标准正态分布示意图图例说明利用Excle进行计算利用Excel进行计算II.电子表格计算法计算步骤如下：图例说明a或或或或2.1.2随机误差的数理统计（1）母体和子样数理统计中将研究对象的全体称为母体

4、，组成母体的每一个单元称为子样。工程试验的重要任务就是从子样的试验中得到关于母体的结论。（2）统计量与无偏估计通过有限的子样观测值来计算母体最可信赖的平均值及方差，这种由子样计算出来的特征量又称作统计量，而统计量是随机变量，当子样容量足够大时（一般n＞30），完全可以用子样的参数估计出母体参数（称为点估计），子样平均值可以代表母体平均值A，子样方差s可以代表母体方差σ，这统称为母体参数的无偏估值。在数据处理中，只提出母体参数的无偏估值还是不够的，因为任何一种估计，如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数X真值的可靠程度（或置信概率），是没有多大意义的。可改写为：

5、图示说明置信度的意义置信度的意义测量结果＝子样平均值±置信区间半长解：用Excel电子表格进行求解在实际监测数据及分析测定数据中，尽管不是所有的测量值都严格遵守正态分布，但是，根据概率论的中心极限定理，n个相互独立且又服从同一分布的随机变量X，当n足够大时（如n＞30时，可称为大子样样本），测定值的平均值渐近地服从正态分布。然而，实际测量中的子样容量一般都较小（小子样样本），特别是热工方面的试验往往如此，这时的n一般只有3～5。在这种情况下，不能用子样均方差s来代表标准误差。因为s是一个随机变量，不同的子样有不同的值，子样愈小，值愈不可靠，其统计量不再服从正态分布，而

6、服从类似于正态分布的t分布。结论2.1.3测量中的坏值及剔除在实际测量中，由于偶然误差的客观存在，所得的数据总存在着一定的离散性。但也可能由于过失误差出现个别离散较远的数据，这通常称为坏值或可疑值。如果保留了这些数据，必然影响测量结果的精确性。反过来，如果把属于偶然误差的个别数据当作坏值处理，也许暂时可以报告出一个精确度较高的结果，但这是虚伪的，不科学的。正确区分坏值并去除它，是试验中经常遇到的实际问题，必须以科学的态度按统计学的原理来处理。通常判别坏值常用的方法有两种：一是物理判别法，即在观测过程中及时发现并纠正由于仪表、人员及试验条件等情况变化而造成的错误；二是统

7、计判别法，即规定一个误差范围（±kσ）及相应的置信概率1－α，凡超出该误差范围的测量值都是小概率事件，都可以认为是坏值而予以剔除。关于k值的求得，有下面几种方法。（1）拉伊特方法该方法按正态分布理论，以最大误差范围3σ为依据进行判别。设有一组测值xi（i＝1，2…n），其子样平均值为，偏差，按贝塞尔公式，如果某测量值xl（1≤l≤n）的偏差｜△xl｜＞3s时，则认为xl是含有粗差的坏值。该方法的最大优点是简单、方便、不需查表。但对小子样不准，往往会把一些坏值隐藏下来而犯“存伪”的错误。例如，当n≤10时：（2-8）（2-9）此时，任意一个测量值引