8 函数与方程练习题

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时间:2019-08-04

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1、§2.8函数与方程一、选择题1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(  )解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0,D选项中零点两侧函数值同号,故选C.答案 C2.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),那么函数f(x)的零点个数是(  )A.0个B.1个C.2个D.至少1个答案D解析在同一坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,a>1时,如图(1),0

2、

3、x2-2x

4、=a2+1(a>0)的解的个数是(  ).A.1B.2C.3D.4解析 (数形结合法)∵a>0,∴a2+1>1.而y=

5、x2-2x

6、的图象如图,∴y=

7、x2-2x

8、的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.∴方程有两解.答案 B【点评】本题采用数形结合法解题,画出对应函数的图象,观察函数的交点情况确定解的个数.4.若函数f(x)=x2+mx+1有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(  )A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,一元二次方程x2+mx+1=0有两不等实根

9、,可得Δ>0,即m2-4>0,解得m>2或m<-2.答案:C5.函数的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案 B6.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是(  ).A.RB.∅C.(-6,6)D.(-∞,-6)∪(6,+∞)解析 (转化法)方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+a=,原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标;

10、而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移

11、a

12、个单位而得到的.若交点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为:(-2,-2),(2,2);所以结合图象可得:或⇒a∈(-∞,-6)∪(6,+∞);选D.答案 D【点评】转化法能够在一定程度上简化解题过程.7.已知函数f(x)=xex-ax-1,则关于f(x)零点叙述正确的是(  ).A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点解析 f(x)=0⇔ex=a+在同一坐标

13、系中作出y=ex与y=的图象,可观察出A、C、D选项错误,选项B正确.答案 B二、填空题8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.解析:画出图象,令g(x)=f(x)-m=0,即f(x)与y=m的图象的交点有3个,∴0

14、函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln2,所以g(x)在(-∞,ln2)上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为:g(ln2)=2ln2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln2-2].答案 (-∞,2ln2-2]12.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.解析 设至少需要计算n次,由题意知<0.001,即2n>100,由26=64,27

15、=128知n=7.答案 7三、解答题13.二次函数f(x)=x2-16x+q+3.若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;解析:∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有,即,∴-20≤q≤12.∴实数q的取值范围为[-20,12]14.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,求+的取值范围.[分析] 欲求+的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨m、n之间的关系,观察f(x)与g(x)的

16、表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y=ax和对数函数y=l

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