曲线上一点处的切线(II)

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1、1.1.2曲线上一点处的切线讲课者：顾裕旺导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.有关导数的数学史微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是

2、他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学.所以，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流放大放大放大放大1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大

3、，你看到了怎样的现象？（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了这种思维方式就叫做“逼近思想”。曲线有点像直线直线从上面的学习过程来看：1）．曲线在点P附近看上去几乎成了直线2）．继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线L，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线3）．点P附近可以用这条直线代替曲线这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势放大放大放大放大PQoxyy=f(x)割线切线l如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.yOxPQ●P为已知曲线C上的一点，如

4、何求出点P处的切线方程？●切线定义随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．y·OP24Qx试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率y

5、xOy=f(x)xx0x0+xPQf(x0+x)f(x0)切线割线P（x0,f(x0))Q(x0+△x,f(x0+△x))△x>0时,点Q位于点P的右侧y=f(x)△x<0时,点Q位于点P的左侧2.求出割线PQ的斜率,并化简.求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤:3.令Δx趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))M（即y)课堂练习：小结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点

6、处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲)●2、根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP,xQ](或[xQ,xP]）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)课后作业东台市五烈中学许建春谢谢欢迎大家提出宝贵意见！