28第28讲 正方形

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1、第28讲正方形本讲重点：正方形的性质和判定.【考点链接】1．正方形的定义和从属关系2.正方形的性质：边角对角线对称性正方形对边平行，四条边都四个角都是两条对角线互相垂直平分且，每条对角线平分一组对角轴对称，中心对称3．正方形的判定方法（1）有一组相等的矩形是正方形；（2）有一个角是的矩形是正方形.【典例探究】考点1正方形的判定『例1』（2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若A

2、D=2，BC=4，求四边形EFGH的面积.『解析』（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断.（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积.解：（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC.同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD.∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形.设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理G

3、H∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=90°.∴四边形EFGH是正方形.（2）连接EG.在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴.在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴，即四边形EFGH的面积为.『备考兵法』解这类问题的关键是正确理解正方形与矩形、菱形及平行四边形之间的关系.考点2正方形性质和判定的综合应用『例2』（1）（2012甘肃白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3

4、，则另一边长是()A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+6（2）（2012安徽省）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为()A.2B.3C.4D.5（3）（2012广东佛山）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（4）（2012贵州黔东南）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90

5、°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于()A．75°B．60°C．45°D．30°『解析』（1）由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长：设拼成的矩形一边长为x，则依题意得剩余部分为：（m+3）2－m2=3x，解得，x=（6m+9）÷3=2m+3.故选C.（2）图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半

6、，它的面积用对角线积的一半来计算：.故选A.（3）根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m＋4）2－m2=（m＋4＋m）（m＋4－m）=8m＋16，解得x=2m＋4.（4）过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°.∴∠ADP+∠APD=90°.由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°.∴∠ADP=∠EPF.在△APD和△FEP中，∵∠ADP=∠E

7、PF，∠A=∠F，PD=PE，∴△APD≌△FEP（AAS）.∴AP=EF，AD=PF.又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF.∴AP=BF.∴BF=EF.又∵∠F=90°，∴△BEF为等腰直角三角形.∴∠EBF=45°.又∵∠CBF=90°，∴∠CBE=45°.故选C.『备考兵法』正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的菱形和矩形，具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质，在解题过程中，要注意灵活运用.考点3综合型问题『例3』（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个

8、单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间