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1、其中的aij是变量xj在第i行的系数，b1,b2…,bm等等是已知的常数，而x1，x2，…，xn等等则是要求的未知数。用线性代数来描述的话，则线性方程组可以写成：AX=B这里的A是m×n矩阵，为方程组的系数矩阵，X是由n未知数构成的列向量，是列向量，B是含有m个常数列向量。现在要解决的问题是在已知矩阵Am×n和向量Bm×1的情况求得未知向量X的值。如果有一组数x1、x2、……xn使得方程组两边的等号都成立，那么这组数就叫做方程组的解。一个线性方程组的所有的解的集合会被简称为解集。根据解的存在情况，线性
2、方程组可以分为三类:·有唯一解的恰定方程组。·解不存在的超定方程组。·有无穷多解的欠定方程组（也被通俗地称为不定方程组）。下面按照线性代数的形式，分别用前面所说的三种方法，用FORTRAN语言来实现线性方程的求解。5.2.1高斯消去法高斯消去法实际上就是我们俗称的加减消元法，因著名的数学家高斯和约当得名，它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”，是一种比较古老的方法，大家在初中数学学习中就接触到了。1.算法
3、原理首先，将前面所述的线性方程组的系数矩阵Am×n和常数矩阵B拼成一个增广矩阵，不妨记为Z，形式如下：为了描述方便，在每个变量上加一个上标（i），代表高斯消去法的第i步矩阵中各个数据的值。原始方程组中i=0，因此，增广矩阵Z改写为：13假设m≤n，高斯消去法计算过程如下：（1）从a11开始，通过矩阵的初等变换，将第一列的其他元素变为0；（2）再从新的a22开始重复（1）的过程；（3）以此类推，最多通过m步，最终将增广矩阵变为如下形式：其中，主对角线左面的值都为0。（4）从amm开始，到a22利用矩阵的
4、初等变换，将增广矩阵中第m列到第二列其他元素变为0；（5）每行除以主对角线上的元素，即将对角线上的元素变为1；（6）B列数据即为方程组的解。当m=n且方程组有唯一解时，高斯消去法能很好的求出方程的解。2.程序代码(1)高斯消去法模块：其中：A(N,N)系数矩阵b(N)右向量N方程维数x方程的根modulegausscontainssubroutinesolve(A,b,x,N)implicitreal*8(a-z)integer::i,k,Nreal*8::A(N,N),b(N),x(N)real*8
5、::Aup(N,N),bup(N)!Ab为增广矩阵[Ab]real*8::Ab(N,N+1)Ab(1:N,1:N)=AAb(:,N+1)=b!这段是高斯消去法的核心部分dok=1,N-1doi=k+1,Ntemp=Ab(i,k)/Ab(k,k)Ab(i,:)=Ab(i,:)-temp*Ab(k,:)13enddoenddo!经过上一步，增广矩阵已经化为每行主对角线左面的数据都为0的形式。Aup(:,:)=Ab(1:N,1:N)bup(:)=Ab(:,N+1)!调用用上三角方程组的回带方法callupt
6、ri(Aup,bup,x,n)endsubroutinesolvesubroutineuptri(A,b,x,N)implicitreal*8(a-z)integer::i,j,Nreal*8::A(N,N),b(N),x(N)x(N)=b(N)/A(N,N)!回带部分doi=n-1,1,-1x(i)=b(i)doj=i+1,Nx(i)=x(i)-a(i,j)*x(j)enddox(i)=x(i)/A(i,i)enddoendsubroutineuptriendmodulegauss!主程序progr
7、ammainusegaussimplicitreal*8(a-z)integer,parameter::N=4integer::i,jreal*8::A(N,N),b(N),x(N)!系数矩阵数据存放在h:fsfin.txt中。open(unit=11,file='h:fsfin.txt')!结果存放在h:jgfout.txt中open(unit=12,file='h:jgfout.txt')read(11,*)!读入A矩阵read(11,*)((A(i,j),j=1,N),i=1,N
8、)!读入B向量read(11,*)bcallsolve(A,b,x,N)write(12,101)x101format(T5,'高斯消去法计算结果',/,T4,'x=',4(/F12.8))print*,b!在屏幕上显示方程的跟。endprogrammain133.运算实例5.2.2选主元消去法1.算法原理上小节所述的高斯消去法比较简单，但在计算过程中，如果出现下列两种情况：（1）主元为0，算法就没办法继续下去;（2）主元绝对值很小，如小于10-15，以
