2904203015,李亚韦,实验四,函数的插值与多项式近似计算

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1、函数的插值与多项式近似计算2904203015李亚韦一、实验描述我们在进行数据计算时，很多时候得到的数据并不是真真实实的那样精确，很多时候我们选择不同的方法，选择逼近的方式得到一个在误差范围内的一个较为准确的值，即可满足我们日常生活和科学研究的需要，所以函数的逼近在实际中占有很重要的地位，我们一般用到的方法有泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近等，每种方法当然有不同的优势和劣势，不同的场合选择不同的方法。泰勒多项式逼近：将函数按照泰勒级数展开，（1）其中c为x和中的某值。当满足误差要求时，我们就认为逼近函数与原函数相等。牛顿多项式逼近：牛顿多项式的递归关

2、系如下其中,如此关心递归下去得到更为近似的函数值。拉格朗日逼近：拉格朗日逼近多项式其中，当j=k时，。帕德逼近：，帕德逼近要求及其导数在x=0,出连续。设通过以下关系可以求得前面各未知系数，一、实验内容利用泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近求解的逼近，在同一坐标系下画出原函数和各种逼近的图像，并求出各种逼近的最大误差。泰勒多项式逼近：symsx%定义符号函数xy=tan(x);t9=taylor(y,10,0)%将函数进行9阶泰勒展开所得结果如下：t9=(62*x^9)/2835+(17*x^7)/315+(2*x^5)/15+x^3/3+x但对t9和

3、y进行绘图时，程序如下：symsxy=tan(x);t9=(62*x.^9)/2835+(17*x.^7)/315+(2*x.^5)/15+x.^3/3+x;figure(1),ezplot(t9,[-pi,pi])holdon%保持前一句指令，以确保下面的画图指令所画图形在同一个图形中ezplot(y,[-pi,pi])%图1画泰勒多项式逼近曲线图和原函数y=tan(x)图en=tan(x)-t9;%求误差函数figure(2),ezplot(en,[-1,1])%图2画误差函数曲线图拉格朗日多项式逼近：symsxt=linspace(-1,1,10);%在-1到1间平

4、均生成10个数字，%起始数位-1，第十位数为1y1=tan(t);l=zeros(10,10);fork=1:10V=1;fori=1:10ifk~=iV=conv(V,poly(t(i)))/(t(k)-t(i));endendl(k,:)=V;endc=y1*l;%求解时的系数xj=[x^9,x^8,x^7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1]c=c*xj';%求函数figure(1),ezplot(c,[-pi,pi])holdony=tan(x);ezplot(y,[-pi,pi])%图1画拉格朗日多项式逼近曲线图和y=tan(x)图en=y-c;%误

5、差函数figure(2),ezplot(en,[-1,1])%图2画误差函数曲线图牛顿插值多项式逼近：symsxt=-1:2/9:1;%将t在-1到1间分为10份y=tan(t);d=zeros(10,10);d(:,1)=y';forj=2:10fork=j:10d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(t(k)-t(k-j+1));endendc=d(10,10);%计算牛顿差值系数fork=9:-1:1c=conv(c,poly(t(k)));m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);end%计算时的系数xj=[x^9,x^8,x^

6、7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1];c=c*xj';figure(1),ezplot(c,[-pi,pi])%图1画牛顿插值多项式逼近曲线图和y=tan(x)图holdony=tan(x);ezplot(y,[-pi,pi])en=tan(x)-c;figure(2),ezplot(en,[-1,1])%图2画误差函数曲线图帕德逼近：symsxr54=(945*x-105*x^3+x^5)/(945-420*x^2+15*x^4);%怕德逼近表达式figure(1),ezplot(r54,[-pi,pi])holdony=tan(x);ezplot(y,

7、[-pi,pi])en=y-r54;figure(2),ezplot(en,[-1,1])一、实验结果与分析泰勒多项式逼近：泰勒多项式逼近和y=tan(x)所得图形图（1）,误差函数图形如图（2）图（1）其中红色线泰勒逼近的图线，蓝色线表示y=tan(x)的函数曲线图（2）由图形知，泰勒多项式逼近的误差在时，误差急剧增大，而在时，误差曲线基本和y=0曲线重合，此时的误差极小。拉格朗日多项式逼近：拉格朗日多项式逼近图线如图（3）所示，图（4）表示误差函数曲线图（3）拉格朗日多项式逼近的曲线如红线所示，蓝线表示函数的曲线由曲线知，